Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74354 / 54157
↖ ↑ ↗
← N 29.809668°
E 24.219360°		 ← 265.01 m → N 29.809668°
E 24.222107°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
N 29.807284°
E 24.219360°		 ← 265.02 m →
70 238 m²		 N 29.807284°
E 24.222107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567279815673828 y=0.413188934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567279815673828 × 217)
    floor (0.567279815673828 × 131072)
    floor (74354.5)     		tx = 74354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413188934326172 × 217)
    floor (0.413188934326172 × 131072)
    floor (54157.5)     		ty = 54157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74354 / 54157 ti = "17/74354/54157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74354/54157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74354 ÷ 217
    74354 ÷ 131072     		x = 0.567276000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54157 ÷ 217
    54157 ÷ 131072     		y = 0.413185119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567276000976562 × 2 - 1) × π
    0.134552001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42270758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413185119628906 × 2 - 1) × π
    0.173629760742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.545473980776619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42270758} λ = 0.42270758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545473980776619))-π/2
    2×atan(1.72542600735083)-π/2
    2×1.04553658798846-π/2
    2.09107317597692-1.57079632675     		φ = 0.52027685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42270758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.219360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52027685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.809668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74354 KachelY 54157 0.42270758 0.52027685 24.219360 29.809668
    Oben rechts KachelX + 1 74355 KachelY 54157 0.42275552 0.52027685 24.222107 29.809668
    Unten links KachelX 74354 KachelY + 1 54158 0.42270758 0.52023525 24.219360 29.807284
    Unten rechts KachelX + 1 74355 KachelY + 1 54158 0.42275552 0.52023525 24.222107 29.807284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52027685-0.52023525) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52027685-0.52023525) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42270758-0.42275552) × cos(0.52027685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867681585155844 × 6371000     		do = 265.012290230423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42270758-0.42275552) × cos(0.52023525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867702264612632 × 6371000     		du = 265.018606268815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52027685)-sin(0.52023525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867681585155844-0.867702264612632)×R²
    abs(0.42275552-0.42270758)×2.06794567872981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06794567872981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06794567872981e-05×40589641000000     		ar = 70237.998315225m²