Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74353 / 55927
↖ ↑ ↗
← N 25.505263°
E 24.216614°		 ← 275.66 m → N 25.505263°
E 24.219360°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
N 25.502785°
E 24.216614°		 ← 275.67 m →
75 975 m²		 N 25.502785°
E 24.219360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567272186279297 y=0.426692962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567272186279297 × 217)
    floor (0.567272186279297 × 131072)
    floor (74353.5)     		tx = 74353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426692962646484 × 217)
    floor (0.426692962646484 × 131072)
    floor (55927.5)     		ty = 55927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74353 / 55927 ti = "17/74353/55927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74353/55927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74353 ÷ 217
    74353 ÷ 131072     		x = 0.567268371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55927 ÷ 217
    55927 ÷ 131072     		y = 0.426689147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567268371582031 × 2 - 1) × π
    0.134536743164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42265964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426689147949219 × 2 - 1) × π
    0.146621704101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.46062566844912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42265964} λ = 0.42265964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46062566844912))-π/2
    2×atan(1.58506540022424)-π/2
    2×1.00797357563809-π/2
    2.01594715127618-1.57079632675     		φ = 0.44515082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42265964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.216614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44515082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.505263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74353 KachelY 55927 0.42265964 0.44515082 24.216614 25.505263
    Oben rechts KachelX + 1 74354 KachelY 55927 0.42270758 0.44515082 24.219360 25.505263
    Unten links KachelX 74353 KachelY + 1 55928 0.42265964 0.44510756 24.216614 25.502785
    Unten rechts KachelX + 1 74354 KachelY + 1 55928 0.42270758 0.44510756 24.219360 25.502785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44515082-0.44510756) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44515082-0.44510756) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42265964-0.42270758) × cos(0.44515082) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902545733473177 × 6371000     		do = 275.660698530026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42265964-0.42270758) × cos(0.44510756) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902564360125396 × 6371000     		du = 275.666387589064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44515082)-sin(0.44510756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902545733473177-0.902564360125396)×R²
    abs(0.42270758-0.42265964)×1.8626652218745e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8626652218745e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8626652218745e-05×40589641000000     		ar = 75975.4802561921m²