Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74353 / 54156
↖ ↑ ↗
← N 29.812051°
E 24.216614°		 ← 265.01 m → N 29.812051°
E 24.219360°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
N 29.809668°
E 24.216614°		 ← 265.01 m →
70 219 m²		 N 29.809668°
E 24.219360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567272186279297 y=0.413181304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567272186279297 × 217)
    floor (0.567272186279297 × 131072)
    floor (74353.5)     		tx = 74353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413181304931641 × 217)
    floor (0.413181304931641 × 131072)
    floor (54156.5)     		ty = 54156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74353 / 54156 ti = "17/74353/54156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74353/54156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74353 ÷ 217
    74353 ÷ 131072     		x = 0.567268371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54156 ÷ 217
    54156 ÷ 131072     		y = 0.413177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567268371582031 × 2 - 1) × π
    0.134536743164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42265964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413177490234375 × 2 - 1) × π
    0.17364501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.545521917676239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42265964} λ = 0.42265964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545521917676239))-π/2
    2×atan(1.72550872090665)-π/2
    2×1.04555738472319-π/2
    2.09111476944638-1.57079632675     		φ = 0.52031844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42265964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.216614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52031844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.812051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74353 KachelY 54156 0.42265964 0.52031844 24.216614 29.812051
    Oben rechts KachelX + 1 74354 KachelY 54156 0.42270758 0.52031844 24.219360 29.812051
    Unten links KachelX 74353 KachelY + 1 54157 0.42265964 0.52027685 24.216614 29.809668
    Unten rechts KachelX + 1 74354 KachelY + 1 54157 0.42270758 0.52027685 24.219360 29.809668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52031844-0.52027685) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52031844-0.52027685) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42265964-0.42270758) × cos(0.52031844) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867660909169047 × 6371000     		do = 265.005975252162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42265964-0.42270758) × cos(0.52027685) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867681585155844 × 6371000     		du = 265.01229023073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52031844)-sin(0.52027685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867660909169047-0.867681585155844)×R²
    abs(0.42270758-0.42265964)×2.06759867976691e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06759867976691e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06759867976691e-05×40589641000000     		ar = 70219.4407617049m²