Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74352 / 53662
↖ ↑ ↗
← N 30.982319°
E 24.213867°		 ← 261.79 m → N 30.982319°
E 24.216614°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
N 30.979964°
E 24.213867°		 ← 261.80 m →
68 551 m²		 N 30.979964°
E 24.216614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567264556884766 y=0.409412384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567264556884766 × 217)
    floor (0.567264556884766 × 131072)
    floor (74352.5)     		tx = 74352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409412384033203 × 217)
    floor (0.409412384033203 × 131072)
    floor (53662.5)     		ty = 53662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74352 / 53662 ti = "17/74352/53662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74352/53662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74352 ÷ 217
    74352 ÷ 131072     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53662 ÷ 217
    53662 ÷ 131072     		y = 0.409408569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409408569335938 × 2 - 1) × π
    0.181182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.569202746088547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569202746088547))-π/2
    2×atan(1.76685785542864)-π/2
    2×1.0557698985019-π/2
    2.1115397970038-1.57079632675     		φ = 0.54074347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54074347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.982319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74352 KachelY 53662 0.42261171 0.54074347 24.213867 30.982319
    Oben rechts KachelX + 1 74353 KachelY 53662 0.42265964 0.54074347 24.216614 30.982319
    Unten links KachelX 74352 KachelY + 1 53663 0.42261171 0.54070237 24.213867 30.979964
    Unten rechts KachelX + 1 74353 KachelY + 1 53663 0.42265964 0.54070237 24.216614 30.979964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54074347-0.54070237) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54074347-0.54070237) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42265964) × cos(0.54074347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.85732619966511 × 6371000     		do = 261.794868702083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42265964) × cos(0.54070237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.857347356133092 × 6371000     		du = 261.801329084094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54074347)-sin(0.54070237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85732619966511-0.857347356133092)×R²
    abs(0.42265964-0.42261171)×2.11564679821752e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.11564679821752e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.11564679821752e-05×40589641000000     		ar = 68551.3347883048m²