Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74351 / 55928
↖ ↑ ↗
← N 25.502785°
E 24.211121°		 ← 275.67 m → N 25.502785°
E 24.213867°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
N 25.500305°
E 24.211121°		 ← 275.67 m →
75 995 m²		 N 25.500305°
E 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567256927490234 y=0.426700592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567256927490234 × 217)
    floor (0.567256927490234 × 131072)
    floor (74351.5)     		tx = 74351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426700592041016 × 217)
    floor (0.426700592041016 × 131072)
    floor (55928.5)     		ty = 55928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74351 / 55928 ti = "17/74351/55928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74351/55928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74351 ÷ 217
    74351 ÷ 131072     		x = 0.567253112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55928 ÷ 217
    55928 ÷ 131072     		y = 0.42669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567253112792969 × 2 - 1) × π
    0.134506225585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42256377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42669677734375 × 2 - 1) × π
    0.1466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.4605777315495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42256377} λ = 0.42256377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4605777315495))-π/2
    2×atan(1.58498941892442)-π/2
    2×1.00795194279277-π/2
    2.01590388558553-1.57079632675     		φ = 0.44510756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42256377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.211121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44510756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.502785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74351 KachelY 55928 0.42256377 0.44510756 24.211121 25.502785
    Oben rechts KachelX + 1 74352 KachelY 55928 0.42261171 0.44510756 24.213867 25.502785
    Unten links KachelX 74351 KachelY + 1 55929 0.42256377 0.44506429 24.211121 25.500305
    Unten rechts KachelX + 1 74352 KachelY + 1 55929 0.42261171 0.44506429 24.213867 25.500305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44510756-0.44506429) × R
    4.32700000000397e-05 × 6371000     		dl = 275.673170000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44510756-0.44506429) × R
    4.32700000000397e-05 × 6371000     		dr = 275.673170000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42256377-0.42261171) × cos(0.44510756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902564360125396 × 6371000     		do = 275.666387588745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42256377-0.42261171) × cos(0.44506429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90258298939369 × 6371000     		du = 275.672077446799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44510756)-sin(0.44506429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902564360125396-0.90258298939369)×R²
    abs(0.42261171-0.42256377)×1.86292682941014e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86292682941014e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86292682941014e-05×40589641000000     		ar = 75994.61121154m²