Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74351 / 53148
↖ ↑ ↗
← N 32.184911°
E 24.211121°		 ← 258.49 m → N 32.184911°
E 24.213867°		 →
↑
258.47 m
↓
↑
258.47 m
↓
N 32.182587°
E 24.211121°		 ← 258.50 m →
66 814 m²		 N 32.182587°
E 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567256927490234 y=0.405490875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567256927490234 × 217)
    floor (0.567256927490234 × 131072)
    floor (74351.5)     		tx = 74351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405490875244141 × 217)
    floor (0.405490875244141 × 131072)
    floor (53148.5)     		ty = 53148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74351 / 53148 ti = "17/74351/53148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74351/53148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74351 ÷ 217
    74351 ÷ 131072     		x = 0.567253112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53148 ÷ 217
    53148 ÷ 131072     		y = 0.405487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567253112792969 × 2 - 1) × π
    0.134506225585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42256377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405487060546875 × 2 - 1) × π
    0.18902587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.593842312493256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42256377} λ = 0.42256377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593842312493256))-π/2
    2×atan(1.81093323616575)-π/2
    2×1.06626449703679-π/2
    2.13252899407358-1.57079632675     		φ = 0.56173267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42256377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.211121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56173267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.184911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74351 KachelY 53148 0.42256377 0.56173267 24.211121 32.184911
    Oben rechts KachelX + 1 74352 KachelY 53148 0.42261171 0.56173267 24.213867 32.184911
    Unten links KachelX 74351 KachelY + 1 53149 0.42256377 0.56169210 24.211121 32.182587
    Unten rechts KachelX + 1 74352 KachelY + 1 53149 0.42261171 0.56169210 24.213867 32.182587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56173267-0.56169210) × R
    4.05700000000175e-05 × 6371000     		dl = 258.471470000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56173267-0.56169210) × R
    4.05700000000175e-05 × 6371000     		dr = 258.471470000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42256377-0.42261171) × cos(0.56173267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84633346929321 × 6371000     		do = 258.492026145476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42256377-0.42261171) × cos(0.56169210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.846355078345683 × 6371000     		du = 258.498626106319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56173267)-sin(0.56169210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84633346929321-0.846355078345683)×R²
    abs(0.42261171-0.42256377)×2.16090524730594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16090524730594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16090524730594e-05×40589641000000     		ar = 66813.6669409417m²