Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74350 / 55957
↖ ↑ ↗
← N 25.430873°
E 24.208374°		 ← 275.83 m → N 25.430873°
E 24.211121°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
N 25.428392°
E 24.208374°		 ← 275.84 m →
76 093 m²		 N 25.428392°
E 24.211121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567249298095703 y=0.426921844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567249298095703 × 217)
    floor (0.567249298095703 × 131072)
    floor (74350.5)     		tx = 74350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426921844482422 × 217)
    floor (0.426921844482422 × 131072)
    floor (55957.5)     		ty = 55957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74350 / 55957 ti = "17/74350/55957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74350/55957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74350 ÷ 217
    74350 ÷ 131072     		x = 0.567245483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55957 ÷ 217
    55957 ÷ 131072     		y = 0.426918029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567245483398438 × 2 - 1) × π
    0.134490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42251583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426918029785156 × 2 - 1) × π
    0.146163940429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.459187561460518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42251583} λ = 0.42251583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459187561460518))-π/2
    2×atan(1.5827875448872)-π/2
    2×1.00732439618008-π/2
    2.01464879236017-1.57079632675     		φ = 0.44385247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42251583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.208374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44385247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.430873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74350 KachelY 55957 0.42251583 0.44385247 24.208374 25.430873
    Oben rechts KachelX + 1 74351 KachelY 55957 0.42256377 0.44385247 24.211121 25.430873
    Unten links KachelX 74350 KachelY + 1 55958 0.42251583 0.44380917 24.208374 25.428392
    Unten rechts KachelX + 1 74351 KachelY + 1 55958 0.42256377 0.44380917 24.211121 25.428392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44385247-0.44380917) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dl = 275.864300000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44385247-0.44380917) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dr = 275.864300000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42251583-0.42256377) × cos(0.44385247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.903104034328978 × 6371000     		do = 275.831217982052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42251583-0.42256377) × cos(0.44380917) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.903122627447354 × 6371000     		du = 275.836896798991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44385247)-sin(0.44380917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903104034328978-0.903122627447354)×R²
    abs(0.42256377-0.42251583)×1.85931183757093e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.85931183757093e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.85931183757093e-05×40589641000000     		ar = 76092.7691700896m²