Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74350 / 53659
↖ ↑ ↗
← N 30.989383°
E 24.208374°		 ← 261.83 m → N 30.989383°
E 24.211121°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
N 30.987028°
E 24.208374°		 ← 261.84 m →
68 561 m²		 N 30.987028°
E 24.211121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567249298095703 y=0.409389495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567249298095703 × 217)
    floor (0.567249298095703 × 131072)
    floor (74350.5)     		tx = 74350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409389495849609 × 217)
    floor (0.409389495849609 × 131072)
    floor (53659.5)     		ty = 53659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74350 / 53659 ti = "17/74350/53659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74350/53659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74350 ÷ 217
    74350 ÷ 131072     		x = 0.567245483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53659 ÷ 217
    53659 ÷ 131072     		y = 0.409385681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567245483398438 × 2 - 1) × π
    0.134490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42251583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409385681152344 × 2 - 1) × π
    0.181228637695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.569346556787407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42251583} λ = 0.42251583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569346556787407))-π/2
    2×atan(1.76711196676314)-π/2
    2×1.05583154255992-π/2
    2.11166308511984-1.57079632675     		φ = 0.54086676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42251583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.208374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54086676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.989383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74350 KachelY 53659 0.42251583 0.54086676 24.208374 30.989383
    Oben rechts KachelX + 1 74351 KachelY 53659 0.42256377 0.54086676 24.211121 30.989383
    Unten links KachelX 74350 KachelY + 1 53660 0.42251583 0.54082566 24.208374 30.987028
    Unten rechts KachelX + 1 74351 KachelY + 1 53660 0.42256377 0.54082566 24.211121 30.987028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54086676-0.54082566) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54086676-0.54082566) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42251583-0.42256377) × cos(0.54086676) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857262726720874 × 6371000     		do = 261.830102683272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42251583-0.42256377) × cos(0.54082566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857283887533009 × 6371000     		du = 261.836565739978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54086676)-sin(0.54082566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857262726720874-0.857283887533009)×R²
    abs(0.42256377-0.42251583)×2.11608121346574e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11608121346574e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11608121346574e-05×40589641000000     		ar = 68560.5610895072m²