Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74350 / 53657
↖ ↑ ↗
← N 30.994092°
E 24.208374°		 ← 261.82 m → N 30.994092°
E 24.211121°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
N 30.991737°
E 24.208374°		 ← 261.82 m →
68 557 m²		 N 30.991737°
E 24.211121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567249298095703 y=0.409374237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567249298095703 × 217)
    floor (0.567249298095703 × 131072)
    floor (74350.5)     		tx = 74350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409374237060547 × 217)
    floor (0.409374237060547 × 131072)
    floor (53657.5)     		ty = 53657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74350 / 53657 ti = "17/74350/53657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74350/53657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74350 ÷ 217
    74350 ÷ 131072     		x = 0.567245483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53657 ÷ 217
    53657 ÷ 131072     		y = 0.409370422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567245483398438 × 2 - 1) × π
    0.134490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42251583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409370422363281 × 2 - 1) × π
    0.181259155273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.569442430586647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42251583} λ = 0.42251583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569442430586647))-π/2
    2×atan(1.7672813946228)-π/2
    2×1.05587263606293-π/2
    2.11174527212585-1.57079632675     		φ = 0.54094895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42251583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.208374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54094895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.994092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74350 KachelY 53657 0.42251583 0.54094895 24.208374 30.994092
    Oben rechts KachelX + 1 74351 KachelY 53657 0.42256377 0.54094895 24.211121 30.994092
    Unten links KachelX 74350 KachelY + 1 53658 0.42251583 0.54090785 24.208374 30.991737
    Unten rechts KachelX + 1 74351 KachelY + 1 53658 0.42256377 0.54090785 24.211121 30.991737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54094895-0.54090785) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54094895-0.54090785) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42251583-0.42256377) × cos(0.54094895) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857220405901848 × 6371000     		do = 261.817176815804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42251583-0.42256377) × cos(0.54090785) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857241569609788 × 6371000     		du = 261.823640756962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54094895)-sin(0.54090785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857220405901848-0.857241569609788)×R²
    abs(0.42256377-0.42251583)×2.11637079401417e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11637079401417e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11637079401417e-05×40589641000000     		ar = 68557.1765915158m²