Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7435 / 5675
↖ ↑ ↗
← N 48.297813°
W 16.633301°		 ← 1 625.37 m → N 48.297813°
W 16.611328°		 →
↑
1 625.62 m
↓
↑
1 625.62 m
↓
N 48.283193°
W 16.633301°		 ← 1 625.84 m →
2 642 620 m²		 N 48.283193°
W 16.611328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453826904296875 y=0.346405029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453826904296875 × 214)
    floor (0.453826904296875 × 16384)
    floor (7435.5)     		tx = 7435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346405029296875 × 214)
    floor (0.346405029296875 × 16384)
    floor (5675.5)     		ty = 5675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7435 / 5675 ti = "14/7435/5675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7435/5675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7435 ÷ 214
    7435 ÷ 16384     		x = 0.45379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5675 ÷ 214
    5675 ÷ 16384     		y = 0.34637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29030586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34637451171875 × 2 - 1) × π
    0.3072509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.965257410749451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29030586} λ = -0.29030586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965257410749451))-π/2
    2×atan(2.62546339199944)-π/2
    2×1.20687608814021-π/2
    2.41375217628042-1.57079632675     		φ = 0.84295585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29030586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.633301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84295585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.297813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7435 KachelY 5675 -0.29030586 0.84295585 -16.633301 48.297813
    Oben rechts KachelX + 1 7436 KachelY 5675 -0.28992237 0.84295585 -16.611328 48.297813
    Unten links KachelX 7435 KachelY + 1 5676 -0.29030586 0.84270069 -16.633301 48.283193
    Unten rechts KachelX + 1 7436 KachelY + 1 5676 -0.28992237 0.84270069 -16.611328 48.283193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84295585-0.84270069) × R
    0.000255159999999921 × 6371000     		dl = 1625.6243599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84295585-0.84270069) × R
    0.000255159999999921 × 6371000     		dr = 1625.6243599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29030586--0.28992237) × cos(0.84295585) × R
    0.000383490000000042 × 0.665258859854601 × 6371000     		do = 1625.37028557548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29030586--0.28992237) × cos(0.84270069) × R
    0.000383490000000042 × 0.665449343914145 × 6371000     		du = 1625.83567904701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84295585)-sin(0.84270069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665258859854601-0.665449343914145)×R²
    abs(-0.28992237--0.29030586)×0.000190484059544693×R²
    0.000383490000000042×0.000190484059544693×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190484059544693×40589641000000     		ar = 2642619.8220715m²