Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7435 / 10742
↖ ↑ ↗
← S 48.777913°
W 16.633301°		 ← 1 610.03 m → S 48.777913°
W 16.611328°		 →
↑
1 609.82 m
↓
↑
1 609.82 m
↓
S 48.792390°
W 16.633301°		 ← 1 609.56 m →
2 591 489 m²		 S 48.792390°
W 16.611328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453826904296875 y=0.655670166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453826904296875 × 214)
    floor (0.453826904296875 × 16384)
    floor (7435.5)     		tx = 7435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655670166015625 × 214)
    floor (0.655670166015625 × 16384)
    floor (10742.5)     		ty = 10742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7435 / 10742 ti = "14/7435/10742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7435/10742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7435 ÷ 214
    7435 ÷ 16384     		x = 0.45379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10742 ÷ 214
    10742 ÷ 16384     		y = 0.6556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29030586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29030586} λ = -0.29030586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977912752249146))-π/2
    2×atan(0.37609528420821)-π/2
    2×0.359730573489634-π/2
    0.719461146979269-1.57079632675     		φ = -0.85133518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29030586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.633301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85133518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.777913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7435 KachelY 10742 -0.29030586 -0.85133518 -16.633301 -48.777913
    Oben rechts KachelX + 1 7436 KachelY 10742 -0.28992237 -0.85133518 -16.611328 -48.777913
    Unten links KachelX 7435 KachelY + 1 10743 -0.29030586 -0.85158786 -16.633301 -48.792390
    Unten rechts KachelX + 1 7436 KachelY + 1 10743 -0.28992237 -0.85158786 -16.611328 -48.792390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85133518--0.85158786) × R
    0.000252680000000005 × 6371000     		dl = 1609.82428000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85133518--0.85158786) × R
    0.000252680000000005 × 6371000     		dr = 1609.82428000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29030586--0.28992237) × cos(-0.85133518) × R
    0.000383490000000042 × 0.658979463333936 × 6371000     		do = 1610.02837112391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29030586--0.28992237) × cos(-0.85158786) × R
    0.000383490000000042 × 0.658789386274791 × 6371000     		du = 1609.56397204177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85133518)-sin(-0.85158786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658979463333936-0.658789386274791)×R²
    abs(-0.28992237--0.29030586)×0.000190077059144755×R²
    0.000383490000000042×0.000190077059144755×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190077059144755×40589641000000     		ar = 2591488.97665268m²