Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7435 / 10613
↖ ↑ ↗
← S 46.875213°
W 16.633301°		 ← 1 670.16 m → S 46.875213°
W 16.611328°		 →
↑
1 669.97 m
↓
↑
1 669.97 m
↓
S 46.890232°
W 16.633301°		 ← 1 669.69 m →
2 788 715 m²		 S 46.890232°
W 16.611328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453826904296875 y=0.647796630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453826904296875 × 214)
    floor (0.453826904296875 × 16384)
    floor (7435.5)     		tx = 7435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647796630859375 × 214)
    floor (0.647796630859375 × 16384)
    floor (10613.5)     		ty = 10613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7435 / 10613 ti = "14/7435/10613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7435/10613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7435 ÷ 214
    7435 ÷ 16384     		x = 0.45379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10613 ÷ 214
    10613 ÷ 16384     		y = 0.64776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29030586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.2955322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.928441871841248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29030586} λ = -0.29030586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928441871841248))-π/2
    2×atan(0.39516895480824)-π/2
    2×0.376334757732635-π/2
    0.752669515465271-1.57079632675     		φ = -0.81812681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29030586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.633301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81812681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.875213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7435 KachelY 10613 -0.29030586 -0.81812681 -16.633301 -46.875213
    Oben rechts KachelX + 1 7436 KachelY 10613 -0.28992237 -0.81812681 -16.611328 -46.875213
    Unten links KachelX 7435 KachelY + 1 10614 -0.29030586 -0.81838893 -16.633301 -46.890232
    Unten rechts KachelX + 1 7436 KachelY + 1 10614 -0.28992237 -0.81838893 -16.611328 -46.890232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81812681--0.81838893) × R
    0.000262120000000032 × 6371000     		dl = 1669.96652000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81812681--0.81838893) × R
    0.000262120000000032 × 6371000     		dr = 1669.96652000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29030586--0.28992237) × cos(-0.81812681) × R
    0.000383490000000042 × 0.683589584641018 × 6371000     		do = 1670.15618348507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29030586--0.28992237) × cos(-0.81838893) × R
    0.000383490000000042 × 0.683398248521694 × 6371000     		du = 1669.68870824848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81812681)-sin(-0.81838893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683589584641018-0.683398248521694)×R²
    abs(-0.28992237--0.29030586)×0.000191336119324093×R²
    0.000383490000000042×0.000191336119324093×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191336119324093×40589641000000     		ar = 2788714.59156199m²