Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74349 / 54167
↖ ↑ ↗
← N 29.785833°
E 24.205628°		 ← 265.02 m → N 29.785833°
E 24.208374°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
N 29.783450°
E 24.205628°		 ← 265.03 m →
70 240 m²		 N 29.783450°
E 24.208374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567241668701172 y=0.413265228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567241668701172 × 217)
    floor (0.567241668701172 × 131072)
    floor (74349.5)     		tx = 74349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413265228271484 × 217)
    floor (0.413265228271484 × 131072)
    floor (54167.5)     		ty = 54167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74349 / 54167 ti = "17/74349/54167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74349/54167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74349 ÷ 217
    74349 ÷ 131072     		x = 0.567237854003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54167 ÷ 217
    54167 ÷ 131072     		y = 0.413261413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567237854003906 × 2 - 1) × π
    0.134475708007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42246790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413261413574219 × 2 - 1) × π
    0.173477172851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.544994611780418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42246790} λ = 0.42246790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.544994611780418))-π/2
    2×atan(1.72459908983281)-π/2
    2×1.04532859338711-π/2
    2.09065718677423-1.57079632675     		φ = 0.51986086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42246790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.205628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51986086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.785833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74349 KachelY 54167 0.42246790 0.51986086 24.205628 29.785833
    Oben rechts KachelX + 1 74350 KachelY 54167 0.42251583 0.51986086 24.208374 29.785833
    Unten links KachelX 74349 KachelY + 1 54168 0.42246790 0.51981926 24.205628 29.783450
    Unten rechts KachelX + 1 74350 KachelY + 1 54168 0.42251583 0.51981926 24.208374 29.783450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51986086-0.51981926) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51986086-0.51981926) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42246790-0.42251583) × cos(0.51986086) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.867888307179343 × 6371000     		do = 265.020135293403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42246790-0.42251583) × cos(0.51981926) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.867908971618773 × 6371000     		du = 265.026445428576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51986086)-sin(0.51981926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867888307179343-0.867908971618773)×R²
    abs(0.42251583-0.42246790)×2.06644394300515e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.06644394300515e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.06644394300515e-05×40589641000000     		ar = 70240.0767383236m²