Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74349 / 53431
↖ ↑ ↗
← N 31.524703°
E 24.205628°		 ← 260.30 m → N 31.524703°
E 24.208374°		 →
↑
260.32 m
↓
↑
260.32 m
↓
N 31.522362°
E 24.205628°		 ← 260.30 m →
67 761 m²		 N 31.522362°
E 24.208374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567241668701172 y=0.407649993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567241668701172 × 217)
    floor (0.567241668701172 × 131072)
    floor (74349.5)     		tx = 74349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407649993896484 × 217)
    floor (0.407649993896484 × 131072)
    floor (53431.5)     		ty = 53431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74349 / 53431 ti = "17/74349/53431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74349/53431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74349 ÷ 217
    74349 ÷ 131072     		x = 0.567237854003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53431 ÷ 217
    53431 ÷ 131072     		y = 0.407646179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567237854003906 × 2 - 1) × π
    0.134475708007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42246790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407646179199219 × 2 - 1) × π
    0.184707641601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.58027616990078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42246790} λ = 0.42246790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58027616990078))-π/2
    2×atan(1.78653174892296)-π/2
    2×1.06050309253942-π/2
    2.12100618507883-1.57079632675     		φ = 0.55020986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42246790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.205628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55020986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.524703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74349 KachelY 53431 0.42246790 0.55020986 24.205628 31.524703
    Oben rechts KachelX + 1 74350 KachelY 53431 0.42251583 0.55020986 24.208374 31.524703
    Unten links KachelX 74349 KachelY + 1 53432 0.42246790 0.55016900 24.205628 31.522362
    Unten rechts KachelX + 1 74350 KachelY + 1 53432 0.42251583 0.55016900 24.208374 31.522362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55020986-0.55016900) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dl = 260.3190600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55020986-0.55016900) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dr = 260.3190600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42246790-0.42251583) × cos(0.55020986) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.852414812145338 × 6371000     		do = 260.295117438627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42246790-0.42251583) × cos(0.55016900) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.852436175743761 × 6371000     		du = 260.301641070409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55020986)-sin(0.55016900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852414812145338-0.852436175743761)×R²
    abs(0.42251583-0.42246790)×2.13635984228633e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13635984228633e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13635984228633e-05×40589641000000     		ar = 67760.6294166425m²