Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74348 / 54168
↖ ↑ ↗
← N 29.783450°
E 24.202881°		 ← 265.08 m → N 29.783450°
E 24.205628°		 →
↑
265.10 m
↓
↑
265.10 m
↓
N 29.781066°
E 24.202881°		 ← 265.09 m →
70 273 m²		 N 29.781066°
E 24.205628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567234039306641 y=0.413272857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567234039306641 × 217)
    floor (0.567234039306641 × 131072)
    floor (74348.5)     		tx = 74348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413272857666016 × 217)
    floor (0.413272857666016 × 131072)
    floor (54168.5)     		ty = 54168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74348 / 54168 ti = "17/74348/54168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74348/54168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74348 ÷ 217
    74348 ÷ 131072     		x = 0.567230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54168 ÷ 217
    54168 ÷ 131072     		y = 0.41326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567230224609375 × 2 - 1) × π
    0.13446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42241996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41326904296875 × 2 - 1) × π
    0.1734619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.544946674880798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42241996} λ = 0.42241996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.544946674880798))-π/2
    2×atan(1.72451641988085)-π/2
    2×1.04530779120211-π/2
    2.09061558240421-1.57079632675     		φ = 0.51981926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42241996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.202881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51981926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.783450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74348 KachelY 54168 0.42241996 0.51981926 24.202881 29.783450
    Oben rechts KachelX + 1 74349 KachelY 54168 0.42246790 0.51981926 24.205628 29.783450
    Unten links KachelX 74348 KachelY + 1 54169 0.42241996 0.51977765 24.202881 29.781066
    Unten rechts KachelX + 1 74349 KachelY + 1 54169 0.42246790 0.51977765 24.205628 29.781066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51981926-0.51977765) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dl = 265.097310000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51981926-0.51977765) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dr = 265.097310000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42241996-0.42246790) × cos(0.51981926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867908971618773 × 6371000     		do = 265.081739909436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42241996-0.42246790) × cos(0.51977765) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867929639523106 × 6371000     		du = 265.088052419411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51981926)-sin(0.51977765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867908971618773-0.867929639523106)×R²
    abs(0.42246790-0.42241996)×2.06679043333047e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06679043333047e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06679043333047e-05×40589641000000     		ar = 70273.2929049758m²