Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74348 / 54164
↖ ↑ ↗
← N 29.792984°
E 24.202881°		 ← 265.06 m → N 29.792984°
E 24.205628°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
N 29.790601°
E 24.202881°		 ← 265.06 m →
70 250 m²		 N 29.790601°
E 24.205628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567234039306641 y=0.413242340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567234039306641 × 217)
    floor (0.567234039306641 × 131072)
    floor (74348.5)     		tx = 74348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413242340087891 × 217)
    floor (0.413242340087891 × 131072)
    floor (54164.5)     		ty = 54164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74348 / 54164 ti = "17/74348/54164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74348/54164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74348 ÷ 217
    74348 ÷ 131072     		x = 0.567230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54164 ÷ 217
    54164 ÷ 131072     		y = 0.413238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567230224609375 × 2 - 1) × π
    0.13446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42241996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413238525390625 × 2 - 1) × π
    0.17352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.545138422479279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42241996} λ = 0.42241996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545138422479279))-π/2
    2×atan(1.72484712346769)-π/2
    2×1.04539099696989-π/2
    2.09078199393977-1.57079632675     		φ = 0.51998567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42241996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.202881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51998567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.792984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74348 KachelY 54164 0.42241996 0.51998567 24.202881 29.792984
    Oben rechts KachelX + 1 74349 KachelY 54164 0.42246790 0.51998567 24.205628 29.792984
    Unten links KachelX 74348 KachelY + 1 54165 0.42241996 0.51994407 24.202881 29.790601
    Unten rechts KachelX + 1 74349 KachelY + 1 54165 0.42246790 0.51994407 24.205628 29.790601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51998567-0.51994407) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51998567-0.51994407) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42241996-0.42246790) × cos(0.51998567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867826299880922 × 6371000     		do = 265.056489832726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42241996-0.42246790) × cos(0.51994407) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867846968826404 × 6371000     		du = 265.062802660695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51998567)-sin(0.51994407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867826299880922-0.867846968826404)×R²
    abs(0.42246790-0.42241996)×2.06689454821385e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06689454821385e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06689454821385e-05×40589641000000     		ar = 70249.7122695616m²