Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74348 / 53580
↖ ↑ ↗
← N 31.175210°
E 24.202881°		 ← 261.32 m → N 31.175210°
E 24.205628°		 →
↑
261.34 m
↓
↑
261.34 m
↓
N 31.172860°
E 24.202881°		 ← 261.33 m →
68 293 m²		 N 31.172860°
E 24.205628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567234039306641 y=0.408786773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567234039306641 × 217)
    floor (0.567234039306641 × 131072)
    floor (74348.5)     		tx = 74348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408786773681641 × 217)
    floor (0.408786773681641 × 131072)
    floor (53580.5)     		ty = 53580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74348 / 53580 ti = "17/74348/53580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74348/53580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74348 ÷ 217
    74348 ÷ 131072     		x = 0.567230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53580 ÷ 217
    53580 ÷ 131072     		y = 0.408782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567230224609375 × 2 - 1) × π
    0.13446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42241996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408782958984375 × 2 - 1) × π
    0.18243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.573133571857391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42241996} λ = 0.42241996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573133571857391))-π/2
    2×atan(1.77381673392574)-π/2
    2×1.0574531916425-π/2
    2.114906383285-1.57079632675     		φ = 0.54411006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42241996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.202881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54411006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.175210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74348 KachelY 53580 0.42241996 0.54411006 24.202881 31.175210
    Oben rechts KachelX + 1 74349 KachelY 53580 0.42246790 0.54411006 24.205628 31.175210
    Unten links KachelX 74348 KachelY + 1 53581 0.42241996 0.54406904 24.202881 31.172860
    Unten rechts KachelX + 1 74349 KachelY + 1 53581 0.42246790 0.54406904 24.205628 31.172860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54411006-0.54406904) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dl = 261.338419999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54411006-0.54406904) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dr = 261.338419999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42241996-0.42246790) × cos(0.54411006) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855588313087616 × 6371000     		do = 261.318693660268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42241996-0.42246790) × cos(0.54406904) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855609546652731 × 6371000     		du = 261.325178937606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54411006)-sin(0.54406904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855588313087616-0.855609546652731)×R²
    abs(0.42246790-0.42241996)×2.12335651142981e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12335651142981e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12335651142981e-05×40589641000000     		ar = 68293.4619530578m²