Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74348 / 53429
↖ ↑ ↗
← N 31.529385°
E 24.202881°		 ← 260.34 m → N 31.529385°
E 24.205628°		 →
↑
260.32 m
↓
↑
260.32 m
↓
N 31.527044°
E 24.202881°		 ← 260.34 m →
67 771 m²		 N 31.527044°
E 24.205628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567234039306641 y=0.407634735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567234039306641 × 217)
    floor (0.567234039306641 × 131072)
    floor (74348.5)     		tx = 74348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407634735107422 × 217)
    floor (0.407634735107422 × 131072)
    floor (53429.5)     		ty = 53429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74348 / 53429 ti = "17/74348/53429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74348/53429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74348 ÷ 217
    74348 ÷ 131072     		x = 0.567230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53429 ÷ 217
    53429 ÷ 131072     		y = 0.407630920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567230224609375 × 2 - 1) × π
    0.13446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42241996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407630920410156 × 2 - 1) × π
    0.184738159179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.58037204370002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42241996} λ = 0.42241996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58037204370002))-π/2
    2×atan(1.78670303872017)-π/2
    2×1.06054395363852-π/2
    2.12108790727705-1.57079632675     		φ = 0.55029158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42241996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.202881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55029158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.529385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74348 KachelY 53429 0.42241996 0.55029158 24.202881 31.529385
    Oben rechts KachelX + 1 74349 KachelY 53429 0.42246790 0.55029158 24.205628 31.529385
    Unten links KachelX 74348 KachelY + 1 53430 0.42241996 0.55025072 24.202881 31.527044
    Unten rechts KachelX + 1 74349 KachelY + 1 53430 0.42246790 0.55025072 24.205628 31.527044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55029158-0.55025072) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dl = 260.3190600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55029158-0.55025072) × R
    4.08600000000314e-05 × 6371000     		dr = 260.3190600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42241996-0.42246790) × cos(0.55029158) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.852372080679107 × 6371000     		do = 260.336373496887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42241996-0.42246790) × cos(0.55025072) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.852393447123775 × 6371000     		du = 260.34289935906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55029158)-sin(0.55025072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852372080679107-0.852393447123775)×R²
    abs(0.42246790-0.42241996)×2.13664446676587e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13664446676587e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13664446676587e-05×40589641000000     		ar = 67771.3694449517m²