Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74347 / 53048
↖ ↑ ↗
← N 32.417066°
E 24.200134°		 ← 257.83 m → N 32.417066°
E 24.202881°		 →
↑
257.83 m
↓
↑
257.83 m
↓
N 32.414747°
E 24.200134°		 ← 257.84 m →
66 478 m²		 N 32.414747°
E 24.202881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567226409912109 y=0.404727935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567226409912109 × 217)
    floor (0.567226409912109 × 131072)
    floor (74347.5)     		tx = 74347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404727935791016 × 217)
    floor (0.404727935791016 × 131072)
    floor (53048.5)     		ty = 53048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74347 / 53048 ti = "17/74347/53048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74347/53048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74347 ÷ 217
    74347 ÷ 131072     		x = 0.567222595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53048 ÷ 217
    53048 ÷ 131072     		y = 0.40472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567222595214844 × 2 - 1) × π
    0.134445190429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42237202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40472412109375 × 2 - 1) × π
    0.1905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.598636002455261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42237202} λ = 0.42237202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598636002455261))-π/2
    2×atan(1.81963512906642)-π/2
    2×1.06829043402476-π/2
    2.13658086804952-1.57079632675     		φ = 0.56578454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42237202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.200134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56578454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.417066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74347 KachelY 53048 0.42237202 0.56578454 24.200134 32.417066
    Oben rechts KachelX + 1 74348 KachelY 53048 0.42241996 0.56578454 24.202881 32.417066
    Unten links KachelX 74347 KachelY + 1 53049 0.42237202 0.56574407 24.200134 32.414747
    Unten rechts KachelX + 1 74348 KachelY + 1 53049 0.42241996 0.56574407 24.202881 32.414747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56578454-0.56574407) × R
    4.04699999999591e-05 × 6371000     		dl = 257.83436999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56578454-0.56574407) × R
    4.04699999999591e-05 × 6371000     		dr = 257.83436999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42237202-0.42241996) × cos(0.56578454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84416828541875 × 6371000     		do = 257.830723258384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42237202-0.42241996) × cos(0.56574407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.844189979814819 × 6371000     		du = 257.837349285357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56578454)-sin(0.56574407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84416828541875-0.844189979814819)×R²
    abs(0.42241996-0.42237202)×2.16943960685834e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16943960685834e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16943960685834e-05×40589641000000     		ar = 66478.476315915m²