Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74345 / 53154
↖ ↑ ↗
← N 32.170963°
E 24.194641°		 ← 258.53 m → N 32.170963°
E 24.197388°		 →
↑
258.54 m
↓
↑
258.54 m
↓
N 32.168638°
E 24.194641°		 ← 258.54 m →
66 840 m²		 N 32.168638°
E 24.197388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567211151123047 y=0.405536651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567211151123047 × 217)
    floor (0.567211151123047 × 131072)
    floor (74345.5)     		tx = 74345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405536651611328 × 217)
    floor (0.405536651611328 × 131072)
    floor (53154.5)     		ty = 53154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74345 / 53154 ti = "17/74345/53154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74345/53154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74345 ÷ 217
    74345 ÷ 131072     		x = 0.567207336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53154 ÷ 217
    53154 ÷ 131072     		y = 0.405532836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567207336425781 × 2 - 1) × π
    0.134414672851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42227615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405532836914062 × 2 - 1) × π
    0.188934326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.593554691095535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42227615} λ = 0.42227615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593554691095535))-π/2
    2×atan(1.8104124479157)-π/2
    2×1.06614277590634-π/2
    2.13228555181268-1.57079632675     		φ = 0.56148923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42227615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.194641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56148923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.170963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74345 KachelY 53154 0.42227615 0.56148923 24.194641 32.170963
    Oben rechts KachelX + 1 74346 KachelY 53154 0.42232409 0.56148923 24.197388 32.170963
    Unten links KachelX 74345 KachelY + 1 53155 0.42227615 0.56144865 24.194641 32.168638
    Unten rechts KachelX + 1 74346 KachelY + 1 53155 0.42232409 0.56144865 24.197388 32.168638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56148923-0.56144865) × R
    4.05799999999568e-05 × 6371000     		dl = 258.535179999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56148923-0.56144865) × R
    4.05799999999568e-05 × 6371000     		dr = 258.535179999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42227615-0.42232409) × cos(0.56148923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.846463113360731 × 6371000     		do = 258.531622780736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42227615-0.42232409) × cos(0.56144865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.846484719377893 × 6371000     		du = 258.538221814516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56148923)-sin(0.56144865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846463113360731-0.846484719377893)×R²
    abs(0.42232409-0.42227615)×2.16060171616128e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16060171616128e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16060171616128e-05×40589641000000     		ar = 66840.3726816175m²