Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74344 / 54170
↖ ↑ ↗
← N 29.778682°
E 24.191894°		 ← 265.09 m → N 29.778682°
E 24.194641°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
N 29.776298°
E 24.191894°		 ← 265.10 m →
70 260 m²		 N 29.776298°
E 24.194641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567203521728516 y=0.413288116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567203521728516 × 217)
    floor (0.567203521728516 × 131072)
    floor (74344.5)     		tx = 74344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413288116455078 × 217)
    floor (0.413288116455078 × 131072)
    floor (54170.5)     		ty = 54170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74344 / 54170 ti = "17/74344/54170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74344/54170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74344 ÷ 217
    74344 ÷ 131072     		x = 0.56719970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54170 ÷ 217
    54170 ÷ 131072     		y = 0.413284301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56719970703125 × 2 - 1) × π
    0.1343994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42222821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413284301757812 × 2 - 1) × π
    0.173431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.544850801081558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42222821} λ = 0.42222821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.544850801081558))-π/2
    2×atan(1.72435109186526)-π/2
    2×1.04526618534611-π/2
    2.09053237069223-1.57079632675     		φ = 0.51973604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42222821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.191894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51973604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.778682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74344 KachelY 54170 0.42222821 0.51973604 24.191894 29.778682
    Oben rechts KachelX + 1 74345 KachelY 54170 0.42227615 0.51973604 24.194641 29.778682
    Unten links KachelX 74344 KachelY + 1 54171 0.42222821 0.51969444 24.191894 29.776298
    Unten rechts KachelX + 1 74345 KachelY + 1 54171 0.42227615 0.51969444 24.194641 29.776298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51973604-0.51969444) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51973604-0.51969444) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42222821-0.42227615) × cos(0.51973604) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867950305924713 × 6371000     		do = 265.094364470415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42222821-0.42227615) × cos(0.51969444) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867970965857408 × 6371000     		du = 265.100674545647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51973604)-sin(0.51969444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867950305924713-0.867970965857408)×R²
    abs(0.42227615-0.42222821)×2.06599326949553e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06599326949553e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06599326949553e-05×40589641000000     		ar = 70259.7499563105m²