Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74343 / 77011
↖ ↑ ↗
← S 30.038189°
E 24.189148°		 ← 264.40 m → S 30.038189°
E 24.191894°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
S 30.040566°
E 24.189148°		 ← 264.40 m →
69 890 m²		 S 30.040566°
E 24.191894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567195892333984 y=0.587551116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567195892333984 × 217)
    floor (0.567195892333984 × 131072)
    floor (74343.5)     		tx = 74343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587551116943359 × 217)
    floor (0.587551116943359 × 131072)
    floor (77011.5)     		ty = 77011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74343 / 77011 ti = "17/74343/77011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74343/77011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74343 ÷ 217
    74343 ÷ 131072     		x = 0.567192077636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77011 ÷ 217
    77011 ÷ 131072     		y = 0.587547302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567192077636719 × 2 - 1) × π
    0.134384155273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42218027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587547302246094 × 2 - 1) × π
    -0.175094604492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.550075923140144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42218027} λ = 0.42218027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550075923140144))-π/2
    2×atan(0.576906008201997)-π/2
    2×0.523265515760501-π/2
    1.046531031521-1.57079632675     		φ = -0.52426530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42218027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.189148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52426530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.038189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74343 KachelY 77011 0.42218027 -0.52426530 24.189148 -30.038189
    Oben rechts KachelX + 1 74344 KachelY 77011 0.42222821 -0.52426530 24.191894 -30.038189
    Unten links KachelX 74343 KachelY + 1 77012 0.42218027 -0.52430679 24.189148 -30.040566
    Unten rechts KachelX + 1 74344 KachelY + 1 77012 0.42222821 -0.52430679 24.191894 -30.040566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52426530--0.52430679) × R
    4.14899999999774e-05 × 6371000     		dl = 264.332789999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52426530--0.52430679) × R
    4.14899999999774e-05 × 6371000     		dr = 264.332789999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42218027-0.42222821) × cos(-0.52426530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865691949240309 × 6371000     		do = 264.40460420859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42218027-0.42222821) × cos(-0.52430679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865671179550664 × 6371000     		du = 264.398260610761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52426530)-sin(-0.52430679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865691949240309-0.865671179550664)×R²
    abs(0.42222821-0.42218027)×2.07696896449283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07696896449283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07696896449283e-05×40589641000000     		ar = 69889.9683188432m²