Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74342 / 77007
↖ ↑ ↗
← S 30.028677°
E 24.186401°		 ← 264.37 m → S 30.028677°
E 24.189148°		 →
↑
264.40 m
↓
↑
264.40 m
↓
S 30.031055°
E 24.186401°		 ← 264.37 m →
69 899 m²		 S 30.031055°
E 24.189148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567188262939453 y=0.587520599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567188262939453 × 217)
    floor (0.567188262939453 × 131072)
    floor (74342.5)     		tx = 74342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587520599365234 × 217)
    floor (0.587520599365234 × 131072)
    floor (77007.5)     		ty = 77007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74342 / 77007 ti = "17/74342/77007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74342/77007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74342 ÷ 217
    74342 ÷ 131072     		x = 0.567184448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77007 ÷ 217
    77007 ÷ 131072     		y = 0.587516784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567184448242188 × 2 - 1) × π
    0.134368896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42213234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587516784667969 × 2 - 1) × π
    -0.175033569335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.549884175541664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42213234} λ = 0.42213234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549884175541664))-π/2
    2×atan(0.577016639149889)-π/2
    2×0.523348516919839-π/2
    1.04669703383968-1.57079632675     		φ = -0.52409929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42213234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.186401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52409929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.028677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74342 KachelY 77007 0.42213234 -0.52409929 24.186401 -30.028677
    Oben rechts KachelX + 1 74343 KachelY 77007 0.42218027 -0.52409929 24.189148 -30.028677
    Unten links KachelX 74342 KachelY + 1 77008 0.42213234 -0.52414079 24.186401 -30.031055
    Unten rechts KachelX + 1 74343 KachelY + 1 77008 0.42218027 -0.52414079 24.189148 -30.031055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52409929--0.52414079) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dl = 264.396500000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52409929--0.52414079) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dr = 264.396500000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42213234-0.42218027) × cos(-0.52409929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865775038118007 × 6371000     		do = 264.374823163204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42213234-0.42218027) × cos(-0.52414079) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865754269386557 × 6371000     		du = 264.368481181208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52409929)-sin(-0.52414079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865775038118007-0.865754269386557)×R²
    abs(0.42218027-0.42213234)×2.07687314495164e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07687314495164e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07687314495164e-05×40589641000000     		ar = 69898.9395436064m²