Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74342 / 77006
↖ ↑ ↗
← S 30.026300°
E 24.186401°		 ← 264.38 m → S 30.026300°
E 24.189148°		 →
↑
264.40 m
↓
↑
264.40 m
↓
S 30.028677°
E 24.186401°		 ← 264.37 m →
69 901 m²		 S 30.028677°
E 24.189148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567188262939453 y=0.587512969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567188262939453 × 217)
    floor (0.567188262939453 × 131072)
    floor (74342.5)     		tx = 74342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587512969970703 × 217)
    floor (0.587512969970703 × 131072)
    floor (77006.5)     		ty = 77006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74342 / 77006 ti = "17/74342/77006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74342/77006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74342 ÷ 217
    74342 ÷ 131072     		x = 0.567184448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77006 ÷ 217
    77006 ÷ 131072     		y = 0.587509155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567184448242188 × 2 - 1) × π
    0.134368896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42213234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587509155273438 × 2 - 1) × π
    -0.175018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.549836238642044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42213234} λ = 0.42213234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549836238642044))-π/2
    2×atan(0.577044300201586)-π/2
    2×0.523369268454251-π/2
    1.0467385369085-1.57079632675     		φ = -0.52405779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42213234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.186401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52405779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.026300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74342 KachelY 77006 0.42213234 -0.52405779 24.186401 -30.026300
    Oben rechts KachelX + 1 74343 KachelY 77006 0.42218027 -0.52405779 24.189148 -30.026300
    Unten links KachelX 74342 KachelY + 1 77007 0.42213234 -0.52409929 24.186401 -30.028677
    Unten rechts KachelX + 1 74343 KachelY + 1 77007 0.42218027 -0.52409929 24.189148 -30.028677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52405779--0.52409929) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dl = 264.396500000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52405779--0.52409929) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dr = 264.396500000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42213234-0.42218027) × cos(-0.52405779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865795805358375 × 6371000     		do = 264.38116468988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42213234-0.42218027) × cos(-0.52409929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865775038118007 × 6371000     		du = 264.374823163204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52405779)-sin(-0.52409929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865795805358375-0.865775038118007)×R²
    abs(0.42218027-0.42213234)×2.0767240368369e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0767240368369e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0767240368369e-05×40589641000000     		ar = 69900.6162813499m²