Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74342 / 53051
↖ ↑ ↗
← N 32.410111°
E 24.186401°		 ← 257.80 m → N 32.410111°
E 24.189148°		 →
↑
257.83 m
↓
↑
257.83 m
↓
N 32.407792°
E 24.186401°		 ← 257.80 m →
66 470 m²		 N 32.407792°
E 24.189148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567188262939453 y=0.404750823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567188262939453 × 217)
    floor (0.567188262939453 × 131072)
    floor (74342.5)     		tx = 74342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404750823974609 × 217)
    floor (0.404750823974609 × 131072)
    floor (53051.5)     		ty = 53051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74342 / 53051 ti = "17/74342/53051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74342/53051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74342 ÷ 217
    74342 ÷ 131072     		x = 0.567184448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53051 ÷ 217
    53051 ÷ 131072     		y = 0.404747009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567184448242188 × 2 - 1) × π
    0.134368896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42213234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404747009277344 × 2 - 1) × π
    0.190505981445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.598492191756401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42213234} λ = 0.42213234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598492191756401))-π/2
    2×atan(1.81937346488234)-π/2
    2×1.06822973146955-π/2
    2.1364594629391-1.57079632675     		φ = 0.56566314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42213234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.186401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56566314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.410111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74342 KachelY 53051 0.42213234 0.56566314 24.186401 32.410111
    Oben rechts KachelX + 1 74343 KachelY 53051 0.42218027 0.56566314 24.189148 32.410111
    Unten links KachelX 74342 KachelY + 1 53052 0.42213234 0.56562267 24.186401 32.407792
    Unten rechts KachelX + 1 74343 KachelY + 1 53052 0.42218027 0.56562267 24.189148 32.407792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56566314-0.56562267) × R
    4.04699999999591e-05 × 6371000     		dl = 257.83436999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56566314-0.56562267) × R
    4.04699999999591e-05 × 6371000     		dr = 257.83436999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42213234-0.42218027) × cos(0.56566314) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.844233359099267 × 6371000     		do = 257.796812328429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42213234-0.42218027) × cos(0.56562267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.844255049347675 × 6371000     		du = 257.803435706714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56566314)-sin(0.56562267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844233359099267-0.844255049347675)×R²
    abs(0.42218027-0.42213234)×2.1690248407702e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.1690248407702e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.1690248407702e-05×40589641000000     		ar = 66469.7325709388m²