Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74341 / 77127
↖ ↑ ↗
← S 30.313617°
E 24.183655°		 ← 263.67 m → S 30.313617°
E 24.186401°		 →
↑
263.63 m
↓
↑
263.63 m
↓
S 30.315988°
E 24.183655°		 ← 263.66 m →
69 510 m²		 S 30.315988°
E 24.186401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567180633544922 y=0.588436126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567180633544922 × 217)
    floor (0.567180633544922 × 131072)
    floor (74341.5)     		tx = 74341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588436126708984 × 217)
    floor (0.588436126708984 × 131072)
    floor (77127.5)     		ty = 77127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74341 / 77127 ti = "17/74341/77127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74341/77127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74341 ÷ 217
    74341 ÷ 131072     		x = 0.567176818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77127 ÷ 217
    77127 ÷ 131072     		y = 0.588432312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567176818847656 × 2 - 1) × π
    0.134353637695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42208440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588432312011719 × 2 - 1) × π
    -0.176864624023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.555636603496071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42208440} λ = 0.42208440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555636603496071))-π/2
    2×atan(0.573706921088694)-π/2
    2×0.520861953690906-π/2
    1.04172390738181-1.57079632675     		φ = -0.52907242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42208440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.183655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52907242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.313617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74341 KachelY 77127 0.42208440 -0.52907242 24.183655 -30.313617
    Oben rechts KachelX + 1 74342 KachelY 77127 0.42213234 -0.52907242 24.186401 -30.313617
    Unten links KachelX 74341 KachelY + 1 77128 0.42208440 -0.52911380 24.183655 -30.315988
    Unten rechts KachelX + 1 74342 KachelY + 1 77128 0.42213234 -0.52911380 24.186401 -30.315988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52907242--0.52911380) × R
    4.13799999999798e-05 × 6371000     		dl = 263.631979999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52907242--0.52911380) × R
    4.13799999999798e-05 × 6371000     		dr = 263.631979999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42208440-0.42213234) × cos(-0.52907242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863275621882568 × 6371000     		do = 263.666595637271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42208440-0.42213234) × cos(-0.52911380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863254735300163 × 6371000     		du = 263.660216337383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52907242)-sin(-0.52911380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863275621882568-0.863254735300163)×R²
    abs(0.42213234-0.42208440)×2.08865824052884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08865824052884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08865824052884e-05×40589641000000     		ar = 69510.1057838843m²