Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74341 / 77002
↖ ↑ ↗
← S 30.016787°
E 24.183655°		 ← 264.46 m → S 30.016787°
E 24.186401°		 →
↑
264.40 m
↓
↑
264.40 m
↓
S 30.019165°
E 24.183655°		 ← 264.46 m →
69 922 m²		 S 30.019165°
E 24.186401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567180633544922 y=0.587482452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567180633544922 × 217)
    floor (0.567180633544922 × 131072)
    floor (74341.5)     		tx = 74341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587482452392578 × 217)
    floor (0.587482452392578 × 131072)
    floor (77002.5)     		ty = 77002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74341 / 77002 ti = "17/74341/77002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74341/77002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74341 ÷ 217
    74341 ÷ 131072     		x = 0.567176818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77002 ÷ 217
    77002 ÷ 131072     		y = 0.587478637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567176818847656 × 2 - 1) × π
    0.134353637695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42208440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587478637695312 × 2 - 1) × π
    -0.174957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.549644491043564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42208440} λ = 0.42208440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549644491043564))-π/2
    2×atan(0.57715495766918)-π/2
    2×0.523452279569496-π/2
    1.04690455913899-1.57079632675     		φ = -0.52389177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42208440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.183655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52389177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.016787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74341 KachelY 77002 0.42208440 -0.52389177 24.183655 -30.016787
    Oben rechts KachelX + 1 74342 KachelY 77002 0.42213234 -0.52389177 24.186401 -30.016787
    Unten links KachelX 74341 KachelY + 1 77003 0.42208440 -0.52393327 24.183655 -30.019165
    Unten rechts KachelX + 1 74342 KachelY + 1 77003 0.42213234 -0.52393327 24.186401 -30.019165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52389177--0.52393327) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dl = 264.396500000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52389177--0.52393327) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dr = 264.396500000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42208440-0.42213234) × cos(-0.52389177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865878869413397 × 6371000     		do = 264.461694440777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42208440-0.42213234) × cos(-0.52393327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.86585810813843 × 6371000     		du = 264.455353413006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52389177)-sin(-0.52393327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865878869413397-0.86585810813843)×R²
    abs(0.42213234-0.42208440)×2.07612749678621e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07612749678621e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07612749678621e-05×40589641000000     		ar = 69921.908131492m²