Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74341 / 53309
↖ ↑ ↗
← N 31.809895°
E 24.183655°		 ← 259.55 m → N 31.809895°
E 24.186401°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
N 31.807561°
E 24.183655°		 ← 259.56 m →
67 352 m²		 N 31.807561°
E 24.186401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567180633544922 y=0.406719207763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567180633544922 × 217)
    floor (0.567180633544922 × 131072)
    floor (74341.5)     		tx = 74341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406719207763672 × 217)
    floor (0.406719207763672 × 131072)
    floor (53309.5)     		ty = 53309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74341 / 53309 ti = "17/74341/53309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74341/53309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74341 ÷ 217
    74341 ÷ 131072     		x = 0.567176818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53309 ÷ 217
    53309 ÷ 131072     		y = 0.406715393066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567176818847656 × 2 - 1) × π
    0.134353637695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42208440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406715393066406 × 2 - 1) × π
    0.186569213867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.586124471654427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42208440} λ = 0.42208440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586124471654427))-π/2
    2×atan(1.79701053737474)-π/2
    2×1.06299186464066-π/2
    2.12598372928132-1.57079632675     		φ = 0.55518740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42208440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.183655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55518740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.809895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74341 KachelY 53309 0.42208440 0.55518740 24.183655 31.809895
    Oben rechts KachelX + 1 74342 KachelY 53309 0.42213234 0.55518740 24.186401 31.809895
    Unten links KachelX 74341 KachelY + 1 53310 0.42208440 0.55514667 24.183655 31.807561
    Unten rechts KachelX + 1 74342 KachelY + 1 53310 0.42213234 0.55514667 24.186401 31.807561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55518740-0.55514667) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55518740-0.55514667) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42208440-0.42213234) × cos(0.55518740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849801676172227 × 6371000     		do = 259.551305797972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42208440-0.42213234) × cos(0.55514667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849823144354701 × 6371000     		du = 259.557862733491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55518740)-sin(0.55514667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849801676172227-0.849823144354701)×R²
    abs(0.42213234-0.42208440)×2.14681824742824e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14681824742824e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14681824742824e-05×40589641000000     		ar = 67352.0345107271m²