Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74340 / 76420
↖ ↑ ↗
← S 28.623104°
E 24.180908°		 ← 268.10 m → S 28.623104°
E 24.183655°		 →
↑
268.09 m
↓
↑
268.09 m
↓
S 28.625515°
E 24.180908°		 ← 268.09 m →
71 874 m²		 S 28.625515°
E 24.183655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567173004150391 y=0.583042144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567173004150391 × 217)
    floor (0.567173004150391 × 131072)
    floor (74340.5)     		tx = 74340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583042144775391 × 217)
    floor (0.583042144775391 × 131072)
    floor (76420.5)     		ty = 76420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74340 / 76420 ti = "17/74340/76420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74340/76420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74340 ÷ 217
    74340 ÷ 131072     		x = 0.567169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76420 ÷ 217
    76420 ÷ 131072     		y = 0.583038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567169189453125 × 2 - 1) × π
    0.13433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42203646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583038330078125 × 2 - 1) × π
    -0.16607666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.521745215464691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42203646} λ = 0.42203646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521745215464691))-π/2
    2×atan(0.593483886377841)-π/2
    2×0.535614463821074-π/2
    1.07122892764215-1.57079632675     		φ = -0.49956740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42203646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.180908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49956740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.623104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74340 KachelY 76420 0.42203646 -0.49956740 24.180908 -28.623104
    Oben rechts KachelX + 1 74341 KachelY 76420 0.42208440 -0.49956740 24.183655 -28.623104
    Unten links KachelX 74340 KachelY + 1 76421 0.42203646 -0.49960948 24.180908 -28.625515
    Unten rechts KachelX + 1 74341 KachelY + 1 76421 0.42208440 -0.49960948 24.183655 -28.625515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49956740--0.49960948) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dl = 268.091679999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49956740--0.49960948) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dr = 268.091679999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42203646-0.42208440) × cos(-0.49956740) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877789879255294 × 6371000     		do = 268.099623436193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42203646-0.42208440) × cos(-0.49960948) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877769720228704 × 6371000     		du = 268.09346635058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49956740)-sin(-0.49960948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877789879255294-0.877769720228704)×R²
    abs(0.42208440-0.42203646)×2.01590265896945e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01590265896945e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01590265896945e-05×40589641000000     		ar = 71874.4531332958m²