Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7434 / 7438
↖ ↑ ↗
← S 81.187965°
E146.689453°		 ← 748.59 m → S 81.187965°
E146.733399°		 →
↑
748.27 m
↓
↑
748.27 m
↓
S 81.194695°
E146.689453°		 ← 748.02 m →
559 937 m²		 S 81.194695°
E146.733399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90753173828125 y=0.90802001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90753173828125 × 213)
    floor (0.90753173828125 × 8192)
    floor (7434.5)     		tx = 7434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90802001953125 × 213)
    floor (0.90802001953125 × 8192)
    floor (7438.5)     		ty = 7438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7434 / 7438 ti = "13/7434/7438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7434/7438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7434 ÷ 213
    7434 ÷ 8192     		x = 0.907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7438 ÷ 213
    7438 ÷ 8192     		y = 0.907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907470703125 × 2 - 1) × π
    0.81494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56021393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907958984375 × 2 - 1) × π
    -0.81591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56328189648364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56021393} λ = 2.56021393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56328189648364))-π/2
    2×atan(0.0770514501510755)-π/2
    2×0.0768995081076626-π/2
    0.153799016215325-1.57079632675     		φ = -1.41699731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56021393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.689453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41699731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.187965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7434 KachelY 7438 2.56021393 -1.41699731 146.689453 -81.187965
    Oben rechts KachelX + 1 7435 KachelY 7438 2.56098093 -1.41699731 146.733399 -81.187965
    Unten links KachelX 7434 KachelY + 1 7439 2.56021393 -1.41711476 146.689453 -81.194695
    Unten rechts KachelX + 1 7435 KachelY + 1 7439 2.56098093 -1.41711476 146.733399 -81.194695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41699731--1.41711476) × R
    0.000117450000000074 × 6371000     		dl = 748.273950000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41699731--1.41711476) × R
    0.000117450000000074 × 6371000     		dr = 748.273950000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56021393-2.56098093) × cos(-1.41699731) × R
    0.00076699999999974 × 0.153193402985605 × 6371000     		do = 748.588295712875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56021393-2.56098093) × cos(-1.41711476) × R
    0.00076699999999974 × 0.153077338282503 × 6371000     		du = 748.021138925478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41699731)-sin(-1.41711476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153193402985605-0.153077338282503)×R²
    abs(2.56098093-2.56021393)×0.00011606470310227×R²
    0.00076699999999974×0.00011606470310227×6371000²
    0.00076699999999974×0.00011606470310227×40589641000000     		ar = 559936.92727664m²