Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7434 / 7430
↖ ↑ ↗
← S 81.133945°
E146.689453°		 ← 753.14 m → S 81.133945°
E146.733399°		 →
↑
752.86 m
↓
↑
752.86 m
↓
S 81.140715°
E146.689453°		 ← 752.57 m →
566 796 m²		 S 81.140715°
E146.733399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90753173828125 y=0.90704345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90753173828125 × 213)
    floor (0.90753173828125 × 8192)
    floor (7434.5)     		tx = 7434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90704345703125 × 213)
    floor (0.90704345703125 × 8192)
    floor (7430.5)     		ty = 7430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7434 / 7430 ti = "13/7434/7430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7434/7430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7434 ÷ 213
    7434 ÷ 8192     		x = 0.907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7430 ÷ 213
    7430 ÷ 8192     		y = 0.906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907470703125 × 2 - 1) × π
    0.81494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56021393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.81396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55714597333228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56021393} λ = 2.56021393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55714597333228))-π/2
    2×atan(0.0775256853754557)-π/2
    2×0.077370927290226-π/2
    0.154741854580452-1.57079632675     		φ = -1.41605447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56021393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.689453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41605447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.133945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7434 KachelY 7430 2.56021393 -1.41605447 146.689453 -81.133945
    Oben rechts KachelX + 1 7435 KachelY 7430 2.56098093 -1.41605447 146.733399 -81.133945
    Unten links KachelX 7434 KachelY + 1 7431 2.56021393 -1.41617264 146.689453 -81.140715
    Unten rechts KachelX + 1 7435 KachelY + 1 7431 2.56098093 -1.41617264 146.733399 -81.140715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41605447--1.41617264) × R
    0.00011817000000014 × 6371000     		dl = 752.861070000889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41605447--1.41617264) × R
    0.00011817000000014 × 6371000     		dr = 752.861070000889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56021393-2.56098093) × cos(-1.41605447) × R
    0.00076699999999974 × 0.154125045686959 × 6371000     		do = 753.140820876674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56021393-2.56098093) × cos(-1.41617264) × R
    0.00076699999999974 × 0.154008286583085 × 6371000     		du = 752.570270860327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41605447)-sin(-1.41617264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154125045686959-0.154008286583085)×R²
    abs(2.56098093-2.56021393)×0.000116759103873737×R²
    0.00076699999999974×0.000116759103873737×6371000²
    0.00076699999999974×0.000116759103873737×40589641000000     		ar = 566795.632476436m²