Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7434 / 4905
↖ ↑ ↗
← N 58.344101°
W 16.655273°		 ← 1 282.27 m → N 58.344101°
W 16.633301°		 →
↑
1 282.48 m
↓
↑
1 282.48 m
↓
N 58.332567°
W 16.655273°		 ← 1 282.69 m →
1 644 761 m²		 N 58.332567°
W 16.633301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453765869140625 y=0.299407958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453765869140625 × 214)
    floor (0.453765869140625 × 16384)
    floor (7434.5)     		tx = 7434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299407958984375 × 214)
    floor (0.299407958984375 × 16384)
    floor (4905.5)     		ty = 4905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7434 / 4905 ti = "14/7434/4905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7434/4905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7434 ÷ 214
    7434 ÷ 16384     		x = 0.4537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4905 ÷ 214
    4905 ÷ 16384     		y = 0.29937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29068936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29937744140625 × 2 - 1) × π
    0.4012451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.260548712409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29068936} λ = -0.29068936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.260548712409))-π/2
    2×atan(3.52735646070584)-π/2
    2×1.29454649093832-π/2
    2.58909298187665-1.57079632675     		φ = 1.01829666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29068936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.655273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01829666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.344101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7434 KachelY 4905 -0.29068936 1.01829666 -16.655273 58.344101
    Oben rechts KachelX + 1 7435 KachelY 4905 -0.29030586 1.01829666 -16.633301 58.344101
    Unten links KachelX 7434 KachelY + 1 4906 -0.29068936 1.01809536 -16.655273 58.332567
    Unten rechts KachelX + 1 7435 KachelY + 1 4906 -0.29030586 1.01809536 -16.633301 58.332567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01829666-1.01809536) × R
    0.000201300000000071 × 6371000     		dl = 1282.48230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01829666-1.01809536) × R
    0.000201300000000071 × 6371000     		dr = 1282.48230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29068936--0.29030586) × cos(1.01829666) × R
    0.000383499999999981 × 0.524816620989695 × 6371000     		do = 1282.27316650671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29068936--0.29030586) × cos(1.01809536) × R
    0.000383499999999981 × 0.524987959998437 × 6371000     		du = 1282.69179542298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01829666)-sin(1.01809536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524816620989695-0.524987959998437)×R²
    abs(-0.29030586--0.29068936)×0.000171339008742×R²
    0.000383499999999981×0.000171339008742×6371000²
    0.000383499999999981×0.000171339008742×40589641000000     		ar = 1644761.08745246m²