Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7434 / 10608
↖ ↑ ↗
← S 46.800060°
W 16.655273°		 ← 1 672.54 m → S 46.800060°
W 16.633301°		 →
↑
1 672.26 m
↓
↑
1 672.26 m
↓
S 46.815099°
W 16.655273°		 ← 1 672.07 m →
2 796 527 m²		 S 46.815099°
W 16.633301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453765869140625 y=0.647491455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453765869140625 × 214)
    floor (0.453765869140625 × 16384)
    floor (7434.5)     		tx = 7434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647491455078125 × 214)
    floor (0.647491455078125 × 16384)
    floor (10608.5)     		ty = 10608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7434 / 10608 ti = "14/7434/10608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7434/10608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7434 ÷ 214
    7434 ÷ 16384     		x = 0.4537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10608 ÷ 214
    10608 ÷ 16384     		y = 0.6474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29068936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6474609375 × 2 - 1) × π
    -0.294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.926524395856445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29068936} λ = -0.29068936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926524395856445))-π/2
    2×atan(0.395927408715215)-π/2
    2×0.376990599668755-π/2
    0.75398119933751-1.57079632675     		φ = -0.81681513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29068936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.655273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81681513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.800060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7434 KachelY 10608 -0.29068936 -0.81681513 -16.655273 -46.800060
    Oben rechts KachelX + 1 7435 KachelY 10608 -0.29030586 -0.81681513 -16.633301 -46.800060
    Unten links KachelX 7434 KachelY + 1 10609 -0.29068936 -0.81707761 -16.655273 -46.815099
    Unten rechts KachelX + 1 7435 KachelY + 1 10609 -0.29030586 -0.81707761 -16.633301 -46.815099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81681513--0.81707761) × R
    0.000262480000000065 × 6371000     		dl = 1672.26008000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81681513--0.81707761) × R
    0.000262480000000065 × 6371000     		dr = 1672.26008000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29068936--0.29030586) × cos(-0.81681513) × R
    0.000383499999999981 × 0.684546347752357 × 6371000     		do = 1672.53737371678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29068936--0.29030586) × cos(-0.81707761) × R
    0.000383499999999981 × 0.684354984301183 × 6371000     		du = 1672.06981951084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81681513)-sin(-0.81707761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684546347752357-0.684354984301183)×R²
    abs(-0.29030586--0.29068936)×0.000191363451174542×R²
    0.000383499999999981×0.000191363451174542×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191363451174542×40589641000000     		ar = 2796526.56231421m²