Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74339 / 77027
↖ ↑ ↗
← S 30.076225°
E 24.178162°		 ← 264.25 m → S 30.076225°
E 24.180908°		 →
↑
264.27 m
↓
↑
264.27 m
↓
S 30.078601°
E 24.178162°		 ← 264.24 m →
69 832 m²		 S 30.078601°
E 24.180908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567165374755859 y=0.587673187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567165374755859 × 217)
    floor (0.567165374755859 × 131072)
    floor (74339.5)     		tx = 74339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587673187255859 × 217)
    floor (0.587673187255859 × 131072)
    floor (77027.5)     		ty = 77027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74339 / 77027 ti = "17/74339/77027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74339/77027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74339 ÷ 217
    74339 ÷ 131072     		x = 0.567161560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77027 ÷ 217
    77027 ÷ 131072     		y = 0.587669372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567161560058594 × 2 - 1) × π
    0.134323120117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42198853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587669372558594 × 2 - 1) × π
    -0.175338745117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.550842913534065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42198853} λ = 0.42198853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550842913534065))-π/2
    2×atan(0.576463696481615)-π/2
    2×0.522933590802752-π/2
    1.0458671816055-1.57079632675     		φ = -0.52492915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42198853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.178162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52492915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.076225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74339 KachelY 77027 0.42198853 -0.52492915 24.178162 -30.076225
    Oben rechts KachelX + 1 74340 KachelY 77027 0.42203646 -0.52492915 24.180908 -30.076225
    Unten links KachelX 74339 KachelY + 1 77028 0.42198853 -0.52497063 24.178162 -30.078601
    Unten rechts KachelX + 1 74340 KachelY + 1 77028 0.42203646 -0.52497063 24.180908 -30.078601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52492915--0.52497063) × R
    4.14800000000382e-05 × 6371000     		dl = 264.269080000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52492915--0.52497063) × R
    4.14800000000382e-05 × 6371000     		dr = 264.269080000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42198853-0.42203646) × cos(-0.52492915) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.86535945039245 × 6371000     		do = 264.247918451684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42198853-0.42203646) × cos(-0.52497063) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865338661875674 × 6371000     		du = 264.241570428001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52492915)-sin(-0.52497063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86535945039245-0.865338661875674)×R²
    abs(0.42203646-0.42198853)×2.07885167761157e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07885167761157e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07885167761157e-05×40589641000000     		ar = 69831.7155181376m²