Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74339 / 76421
↖ ↑ ↗
← S 28.625515°
E 24.178162°		 ← 268.04 m → S 28.625515°
E 24.180908°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
S 28.627925°
E 24.178162°		 ← 268.03 m →
71 841 m²		 S 28.627925°
E 24.180908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567165374755859 y=0.583049774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567165374755859 × 217)
    floor (0.567165374755859 × 131072)
    floor (74339.5)     		tx = 74339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583049774169922 × 217)
    floor (0.583049774169922 × 131072)
    floor (76421.5)     		ty = 76421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74339 / 76421 ti = "17/74339/76421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74339/76421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74339 ÷ 217
    74339 ÷ 131072     		x = 0.567161560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76421 ÷ 217
    76421 ÷ 131072     		y = 0.583045959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567161560058594 × 2 - 1) × π
    0.134323120117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42198853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583045959472656 × 2 - 1) × π
    -0.166091918945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.521793152364311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42198853} λ = 0.42198853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521793152364311))-π/2
    2×atan(0.59345543728224)-π/2
    2×0.535593424799976-π/2
    1.07118684959995-1.57079632675     		φ = -0.49960948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42198853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.178162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49960948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.625515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74339 KachelY 76421 0.42198853 -0.49960948 24.178162 -28.625515
    Oben rechts KachelX + 1 74340 KachelY 76421 0.42203646 -0.49960948 24.180908 -28.625515
    Unten links KachelX 74339 KachelY + 1 76422 0.42198853 -0.49965155 24.178162 -28.627925
    Unten rechts KachelX + 1 74340 KachelY + 1 76422 0.42203646 -0.49965155 24.180908 -28.627925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49960948--0.49965155) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49960948--0.49965155) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42198853-0.42203646) × cos(-0.49960948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.877769720228704 × 6371000     		do = 268.037543641733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42198853-0.42203646) × cos(-0.49965155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.877749564439022 × 6371000     		du = 268.03138882888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49960948)-sin(-0.49965155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877769720228704-0.877749564439022)×R²
    abs(0.42203646-0.42198853)×2.01557896825078e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01557896825078e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01557896825078e-05×40589641000000     		ar = 71840.7338856374m²