Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74339 / 56410
↖ ↑ ↗
← N 24.302047°
E 24.178162°		 ← 278.30 m → N 24.302047°
E 24.180908°		 →
↑
278.29 m
↓
↑
278.29 m
↓
N 24.299544°
E 24.178162°		 ← 278.31 m →
77 449 m²		 N 24.299544°
E 24.180908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567165374755859 y=0.430377960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567165374755859 × 217)
    floor (0.567165374755859 × 131072)
    floor (74339.5)     		tx = 74339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430377960205078 × 217)
    floor (0.430377960205078 × 131072)
    floor (56410.5)     		ty = 56410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74339 / 56410 ti = "17/74339/56410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74339/56410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74339 ÷ 217
    74339 ÷ 131072     		x = 0.567161560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56410 ÷ 217
    56410 ÷ 131072     		y = 0.430374145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567161560058594 × 2 - 1) × π
    0.134323120117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42198853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430374145507812 × 2 - 1) × π
    0.139251708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.437472145932632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42198853} λ = 0.42198853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437472145932632))-π/2
    2×atan(1.54878715801148)-π/2
    2×0.997473530736108-π/2
    1.99494706147222-1.57079632675     		φ = 0.42415073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42198853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.178162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42415073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.302047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74339 KachelY 56410 0.42198853 0.42415073 24.178162 24.302047
    Oben rechts KachelX + 1 74340 KachelY 56410 0.42203646 0.42415073 24.180908 24.302047
    Unten links KachelX 74339 KachelY + 1 56411 0.42198853 0.42410705 24.178162 24.299544
    Unten rechts KachelX + 1 74340 KachelY + 1 56411 0.42203646 0.42410705 24.180908 24.299544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42415073-0.42410705) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dl = 278.285279999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42415073-0.42410705) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dr = 278.285279999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42198853-0.42203646) × cos(0.42415073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.911388576034585 × 6371000     		do = 278.303465696901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42198853-0.42203646) × cos(0.42410705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.9114065515344 × 6371000     		du = 278.308954732014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42415073)-sin(0.42410705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911388576034585-0.9114065515344)×R²
    abs(0.42203646-0.42198853)×1.79754998150816e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79754998150816e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79754998150816e-05×40589641000000     		ar = 77448.5216475733m²