Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74339 / 53452
↖ ↑ ↗
← N 31.475524°
E 24.178162°		 ← 260.43 m → N 31.475524°
E 24.180908°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
N 31.473181°
E 24.178162°		 ← 260.44 m →
67 846 m²		 N 31.473181°
E 24.180908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567165374755859 y=0.407810211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567165374755859 × 217)
    floor (0.567165374755859 × 131072)
    floor (74339.5)     		tx = 74339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407810211181641 × 217)
    floor (0.407810211181641 × 131072)
    floor (53452.5)     		ty = 53452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74339 / 53452 ti = "17/74339/53452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74339/53452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74339 ÷ 217
    74339 ÷ 131072     		x = 0.567161560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53452 ÷ 217
    53452 ÷ 131072     		y = 0.407806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567161560058594 × 2 - 1) × π
    0.134323120117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42198853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407806396484375 × 2 - 1) × π
    0.18438720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.579269495008759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42198853} λ = 0.42198853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579269495008759))-π/2
    2×atan(1.78473419719442)-π/2
    2×1.06007392736018-π/2
    2.12014785472037-1.57079632675     		φ = 0.54935153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42198853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.178162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54935153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.475524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74339 KachelY 53452 0.42198853 0.54935153 24.178162 31.475524
    Oben rechts KachelX + 1 74340 KachelY 53452 0.42203646 0.54935153 24.180908 31.475524
    Unten links KachelX 74339 KachelY + 1 53453 0.42198853 0.54931064 24.178162 31.473181
    Unten rechts KachelX + 1 74340 KachelY + 1 53453 0.42203646 0.54931064 24.180908 31.473181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54935153-0.54931064) × R
    4.08900000000711e-05 × 6371000     		dl = 260.510190000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54935153-0.54931064) × R
    4.08900000000711e-05 × 6371000     		dr = 260.510190000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42198853-0.42203646) × cos(0.54935153) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.852863289774134 × 6371000     		do = 260.432065478067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42198853-0.42203646) × cos(0.54931064) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.852884639131949 × 6371000     		du = 260.438584761309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54935153)-sin(0.54931064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852863289774134-0.852884639131949)×R²
    abs(0.42203646-0.42198853)×2.13493578148372e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13493578148372e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13493578148372e-05×40589641000000     		ar = 67846.056039293m²