Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74338 / 90147
↖ ↑ ↗
← S 55.830602°
E 24.175415°		 ← 171.54 m → S 55.830602°
E 24.178162°		 →
↑
171.51 m
↓
↑
171.51 m
↓
S 55.832144°
E 24.175415°		 ← 171.53 m →
29 420 m²		 S 55.832144°
E 24.178162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567157745361328 y=0.687770843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567157745361328 × 217)
    floor (0.567157745361328 × 131072)
    floor (74338.5)     		tx = 74338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687770843505859 × 217)
    floor (0.687770843505859 × 131072)
    floor (90147.5)     		ty = 90147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74338 / 90147 ti = "17/74338/90147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74338/90147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74338 ÷ 217
    74338 ÷ 131072     		x = 0.567153930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90147 ÷ 217
    90147 ÷ 131072     		y = 0.687767028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567153930664062 × 2 - 1) × π
    0.134307861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42194059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687767028808594 × 2 - 1) × π
    -0.375534057617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.1797750365492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42194059} λ = 0.42194059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1797750365492))-π/2
    2×atan(0.307347872862573)-π/2
    2×0.298184255259968-π/2
    0.596368510519936-1.57079632675     		φ = -0.97442782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42194059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.175415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97442782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.830602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74338 KachelY 90147 0.42194059 -0.97442782 24.175415 -55.830602
    Oben rechts KachelX + 1 74339 KachelY 90147 0.42198853 -0.97442782 24.178162 -55.830602
    Unten links KachelX 74338 KachelY + 1 90148 0.42194059 -0.97445474 24.175415 -55.832144
    Unten rechts KachelX + 1 74339 KachelY + 1 90148 0.42198853 -0.97445474 24.178162 -55.832144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97442782--0.97445474) × R
    2.69200000000414e-05 × 6371000     		dl = 171.507320000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97442782--0.97445474) × R
    2.69200000000414e-05 × 6371000     		dr = 171.507320000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42194059-0.42198853) × cos(-0.97442782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561641556129483 × 6371000     		do = 171.539787895486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42194059-0.42198853) × cos(-0.97445474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561619282838515 × 6371000     		du = 171.53298505911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97442782)-sin(-0.97445474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561641556129483-0.561619282838515)×R²
    abs(0.42198853-0.42194059)×2.22732909672674e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22732909672674e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22732909672674e-05×40589641000000     		ar = 29419.7459290699m²