Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74337 / 56831
↖ ↑ ↗
← N 23.243870°
E 24.172668°		 ← 280.64 m → N 23.243870°
E 24.175415°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
N 23.241346°
E 24.172668°		 ← 280.64 m →
78 759 m²		 N 23.241346°
E 24.175415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567150115966797 y=0.433589935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567150115966797 × 217)
    floor (0.567150115966797 × 131072)
    floor (74337.5)     		tx = 74337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433589935302734 × 217)
    floor (0.433589935302734 × 131072)
    floor (56831.5)     		ty = 56831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74337 / 56831 ti = "17/74337/56831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74337/56831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74337 ÷ 217
    74337 ÷ 131072     		x = 0.567146301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56831 ÷ 217
    56831 ÷ 131072     		y = 0.433586120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567146301269531 × 2 - 1) × π
    0.134292602539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42189265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433586120605469 × 2 - 1) × π
    0.132827758789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.417290711192589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42189265} λ = 0.42189265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417290711192589))-π/2
    2×atan(1.51784370295559)-π/2
    2×0.988239192654554-π/2
    1.97647838530911-1.57079632675     		φ = 0.40568206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42189265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.172668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40568206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.243870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74337 KachelY 56831 0.42189265 0.40568206 24.172668 23.243870
    Oben rechts KachelX + 1 74338 KachelY 56831 0.42194059 0.40568206 24.175415 23.243870
    Unten links KachelX 74337 KachelY + 1 56832 0.42189265 0.40563801 24.172668 23.241346
    Unten rechts KachelX + 1 74338 KachelY + 1 56832 0.42194059 0.40563801 24.175415 23.241346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40568206-0.40563801) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dl = 280.642550000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40568206-0.40563801) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dr = 280.642550000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42189265-0.42194059) × cos(0.40568206) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.918833438965018 × 6371000     		do = 280.635383032777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42189265-0.42194059) × cos(0.40563801) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91885082221011 × 6371000     		du = 280.640692323272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40568206)-sin(0.40563801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918833438965018-0.91885082221011)×R²
    abs(0.42194059-0.42189265)×1.73832450913736e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.73832450913736e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.73832450913736e-05×40589641000000     		ar = 78758.974533655m²