Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74337 / 56813
↖ ↑ ↗
← N 23.289288°
E 24.172668°		 ← 280.54 m → N 23.289288°
E 24.175415°		 →
↑
280.52 m
↓
↑
280.52 m
↓
N 23.286765°
E 24.172668°		 ← 280.55 m →
78 696 m²		 N 23.286765°
E 24.175415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567150115966797 y=0.433452606201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567150115966797 × 217)
    floor (0.567150115966797 × 131072)
    floor (74337.5)     		tx = 74337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433452606201172 × 217)
    floor (0.433452606201172 × 131072)
    floor (56813.5)     		ty = 56813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74337 / 56813 ti = "17/74337/56813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74337/56813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74337 ÷ 217
    74337 ÷ 131072     		x = 0.567146301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56813 ÷ 217
    56813 ÷ 131072     		y = 0.433448791503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567146301269531 × 2 - 1) × π
    0.134292602539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42189265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433448791503906 × 2 - 1) × π
    0.133102416992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.41815357538575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42189265} λ = 0.42189265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.41815357538575))-π/2
    2×atan(1.51915396114383)-π/2
    2×0.988635539363356-π/2
    1.97727107872671-1.57079632675     		φ = 0.40647475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42189265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.172668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40647475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.289288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74337 KachelY 56813 0.42189265 0.40647475 24.172668 23.289288
    Oben rechts KachelX + 1 74338 KachelY 56813 0.42194059 0.40647475 24.175415 23.289288
    Unten links KachelX 74337 KachelY + 1 56814 0.42189265 0.40643072 24.172668 23.286765
    Unten rechts KachelX + 1 74338 KachelY + 1 56814 0.42194059 0.40643072 24.175415 23.286765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40647475-0.40643072) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dl = 280.515129999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40647475-0.40643072) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dr = 280.515129999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42189265-0.42194059) × cos(0.40647475) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.918520318737543 × 6371000     		do = 280.539748055591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42189265-0.42194059) × cos(0.40643072) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.918537726154628 × 6371000     		du = 280.545064728835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40647475)-sin(0.40643072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918520318737543-0.918537726154628)×R²
    abs(0.42194059-0.42189265)×1.74074170844474e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.74074170844474e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.74074170844474e-05×40589641000000     		ar = 78696.3896122832m²