Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74336 / 77600
↖ ↑ ↗
← S 31.428663°
E 24.169922°		 ← 260.56 m → S 31.428663°
E 24.172668°		 →
↑
260.57 m
↓
↑
260.57 m
↓
S 31.431006°
E 24.169922°		 ← 260.56 m →
67 895 m²		 S 31.431006°
E 24.172668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567142486572266 y=0.592044830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567142486572266 × 217)
    floor (0.567142486572266 × 131072)
    floor (74336.5)     		tx = 74336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592044830322266 × 217)
    floor (0.592044830322266 × 131072)
    floor (77600.5)     		ty = 77600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74336 / 77600 ti = "17/74336/77600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74336/77600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74336 ÷ 217
    74336 ÷ 131072     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77600 ÷ 217
    77600 ÷ 131072     		y = 0.592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.18408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.578310757016357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578310757016357))-π/2
    2×atan(0.560844970249394)-π/2
    2×0.511131337955494-π/2
    1.02226267591099-1.57079632675     		φ = -0.54853365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54853365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.428663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74336 KachelY 77600 0.42184472 -0.54853365 24.169922 -31.428663
    Oben rechts KachelX + 1 74337 KachelY 77600 0.42189265 -0.54853365 24.172668 -31.428663
    Unten links KachelX 74336 KachelY + 1 77601 0.42184472 -0.54857455 24.169922 -31.431006
    Unten rechts KachelX + 1 74337 KachelY + 1 77601 0.42189265 -0.54857455 24.172668 -31.431006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54853365--0.54857455) × R
    4.09000000000104e-05 × 6371000     		dl = 260.573900000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54853365--0.54857455) × R
    4.09000000000104e-05 × 6371000     		dr = 260.573900000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42189265) × cos(-0.54853365) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.853290047661569 × 6371000     		do = 260.562381132591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42189265) × cos(-0.54857455) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.853268720192243 × 6371000     		du = 260.555868533263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54853365)-sin(-0.54857455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853290047661569-0.853268720192243)×R²
    abs(0.42189265-0.42184472)×2.13274693258159e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13274693258159e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13274693258159e-05×40589641000000     		ar = 67894.90734768m²