Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74336 / 55329
↖ ↑ ↗
← N 26.978381°
E 24.169922°		 ← 272.13 m → N 26.978381°
E 24.172668°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
N 26.975933°
E 24.169922°		 ← 272.14 m →
74 067 m²		 N 26.975933°
E 24.172668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567142486572266 y=0.422130584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567142486572266 × 217)
    floor (0.567142486572266 × 131072)
    floor (74336.5)     		tx = 74336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422130584716797 × 217)
    floor (0.422130584716797 × 131072)
    floor (55329.5)     		ty = 55329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74336 / 55329 ti = "17/74336/55329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74336/55329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74336 ÷ 217
    74336 ÷ 131072     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55329 ÷ 217
    55329 ÷ 131072     		y = 0.422126770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422126770019531 × 2 - 1) × π
    0.155746459960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.489291934421913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489291934421913))-π/2
    2×atan(1.63116084211739)-π/2
    2×1.02082895038399-π/2
    2.04165790076798-1.57079632675     		φ = 0.47086157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47086157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.978381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74336 KachelY 55329 0.42184472 0.47086157 24.169922 26.978381
    Oben rechts KachelX + 1 74337 KachelY 55329 0.42189265 0.47086157 24.172668 26.978381
    Unten links KachelX 74336 KachelY + 1 55330 0.42184472 0.47081885 24.169922 26.975933
    Unten rechts KachelX + 1 74337 KachelY + 1 55330 0.42189265 0.47081885 24.172668 26.975933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47086157-0.47081885) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47086157-0.47081885) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42189265) × cos(0.47086157) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.891177764099882 × 6371000     		do = 272.131851136252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42189265) × cos(0.47081885) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.891197143396907 × 6371000     		du = 272.137768837732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47086157)-sin(0.47081885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891177764099882-0.891197143396907)×R²
    abs(0.42189265-0.42184472)×1.93792970251128e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.93792970251128e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.93792970251128e-05×40589641000000     		ar = 74066.6917668m²