Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74335 / 90151
↖ ↑ ↗
← S 55.836771°
E 24.167175°		 ← 171.51 m → S 55.836771°
E 24.169922°		 →
↑
171.51 m
↓
↑
171.51 m
↓
S 55.838314°
E 24.167175°		 ← 171.51 m →
29 415 m²		 S 55.838314°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567134857177734 y=0.687801361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567134857177734 × 217)
    floor (0.567134857177734 × 131072)
    floor (74335.5)     		tx = 74335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687801361083984 × 217)
    floor (0.687801361083984 × 131072)
    floor (90151.5)     		ty = 90151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74335 / 90151 ti = "17/74335/90151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74335/90151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74335 ÷ 217
    74335 ÷ 131072     		x = 0.567131042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90151 ÷ 217
    90151 ÷ 131072     		y = 0.687797546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567131042480469 × 2 - 1) × π
    0.134262084960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42179678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687797546386719 × 2 - 1) × π
    -0.375595092773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.17996678414768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42179678} λ = 0.42179678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17996678414768))-π/2
    2×atan(0.307288945295844)-π/2
    2×0.298130412821097-π/2
    0.596260825642193-1.57079632675     		φ = -0.97453550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42179678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.167175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97453550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.836771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74335 KachelY 90151 0.42179678 -0.97453550 24.167175 -55.836771
    Oben rechts KachelX + 1 74336 KachelY 90151 0.42184472 -0.97453550 24.169922 -55.836771
    Unten links KachelX 74335 KachelY + 1 90152 0.42179678 -0.97456242 24.167175 -55.838314
    Unten rechts KachelX + 1 74336 KachelY + 1 90152 0.42184472 -0.97456242 24.169922 -55.838314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97453550--0.97456242) × R
    2.69200000000414e-05 × 6371000     		dl = 171.507320000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97453550--0.97456242) × R
    2.69200000000414e-05 × 6371000     		dr = 171.507320000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42179678-0.42184472) × cos(-0.97453550) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561552460523691 × 6371000     		do = 171.512575804355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42179678-0.42184472) × cos(-0.97456242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561530185604829 × 6371000     		du = 171.505772470778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97453550)-sin(-0.97456242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561552460523691-0.561530185604829)×R²
    abs(0.42184472-0.42179678)×2.22749188618643e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22749188618643e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22749188618643e-05×40589641000000     		ar = 29415.0788135709m²