Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74335 / 56829
↖ ↑ ↗
← N 23.248917°
E 24.167175°		 ← 280.62 m → N 23.248917°
E 24.169922°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
N 23.246393°
E 24.167175°		 ← 280.63 m →
78 756 m²		 N 23.246393°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567134857177734 y=0.433574676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567134857177734 × 217)
    floor (0.567134857177734 × 131072)
    floor (74335.5)     		tx = 74335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433574676513672 × 217)
    floor (0.433574676513672 × 131072)
    floor (56829.5)     		ty = 56829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74335 / 56829 ti = "17/74335/56829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74335/56829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74335 ÷ 217
    74335 ÷ 131072     		x = 0.567131042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56829 ÷ 217
    56829 ÷ 131072     		y = 0.433570861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567131042480469 × 2 - 1) × π
    0.134262084960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42179678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433570861816406 × 2 - 1) × π
    0.132858276367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.417386584991829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42179678} λ = 0.42179678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417386584991829))-π/2
    2×atan(1.51798923137411)-π/2
    2×0.988283237847601-π/2
    1.9765664756952-1.57079632675     		φ = 0.40577015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42179678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.167175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40577015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.248917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74335 KachelY 56829 0.42179678 0.40577015 24.167175 23.248917
    Oben rechts KachelX + 1 74336 KachelY 56829 0.42184472 0.40577015 24.169922 23.248917
    Unten links KachelX 74335 KachelY + 1 56830 0.42179678 0.40572610 24.167175 23.246393
    Unten rechts KachelX + 1 74336 KachelY + 1 56830 0.42184472 0.40572610 24.169922 23.246393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40577015-0.40572610) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dl = 280.642550000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40577015-0.40572610) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dr = 280.642550000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42179678-0.42184472) × cos(0.40577015) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.918798671073414 × 6371000     		do = 280.624764023755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42179678-0.42184472) × cos(0.40572610) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.918816057883881 × 6371000     		du = 280.630074403208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40577015)-sin(0.40572610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918798671073414-0.918816057883881)×R²
    abs(0.42184472-0.42179678)×1.73868104662578e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.73868104662578e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.73868104662578e-05×40589641000000     		ar = 78755.9945408307m²