Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74334 / 90150
↖ ↑ ↗
← S 55.835229°
E 24.164429°		 ← 171.52 m → S 55.835229°
E 24.167175°		 →
↑
171.51 m
↓
↑
171.51 m
↓
S 55.836771°
E 24.164429°		 ← 171.51 m →
29 416 m²		 S 55.836771°
E 24.167175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567127227783203 y=0.687793731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567127227783203 × 217)
    floor (0.567127227783203 × 131072)
    floor (74334.5)     		tx = 74334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687793731689453 × 217)
    floor (0.687793731689453 × 131072)
    floor (90150.5)     		ty = 90150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74334 / 90150 ti = "17/74334/90150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74334/90150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74334 ÷ 217
    74334 ÷ 131072     		x = 0.567123413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90150 ÷ 217
    90150 ÷ 131072     		y = 0.687789916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567123413085938 × 2 - 1) × π
    0.134246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42174884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687789916992188 × 2 - 1) × π
    -0.375579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17991884724806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42174884} λ = 0.42174884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17991884724806))-π/2
    2×atan(0.307303676128241)-π/2
    2×0.298143872629978-π/2
    0.596287745259955-1.57079632675     		φ = -0.97450858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42174884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.164429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97450858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.835229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74334 KachelY 90150 0.42174884 -0.97450858 24.164429 -55.835229
    Oben rechts KachelX + 1 74335 KachelY 90150 0.42179678 -0.97450858 24.167175 -55.835229
    Unten links KachelX 74334 KachelY + 1 90151 0.42174884 -0.97453550 24.164429 -55.836771
    Unten rechts KachelX + 1 74335 KachelY + 1 90151 0.42179678 -0.97453550 24.167175 -55.836771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97450858--0.97453550) × R
    2.69200000000414e-05 × 6371000     		dl = 171.507320000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97450858--0.97453550) × R
    2.69200000000414e-05 × 6371000     		dr = 171.507320000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42174884-0.42179678) × cos(-0.97450858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561574735035603 × 6371000     		do = 171.519379013441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42174884-0.42179678) × cos(-0.97453550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561552460523691 × 6371000     		du = 171.512575804157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97450858)-sin(-0.97453550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561574735035603-0.561552460523691)×R²
    abs(0.42179678-0.42174884)×2.22745119123902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22745119123902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22745119123902e-05×40589641000000     		ar = 29416.2456243932m²