Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74334 / 53450
↖ ↑ ↗
← N 31.480209°
E 24.164429°		 ← 260.47 m → N 31.480209°
E 24.167175°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
N 31.477866°
E 24.164429°		 ← 260.48 m →
67 840 m²		 N 31.477866°
E 24.167175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567127227783203 y=0.407794952392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567127227783203 × 217)
    floor (0.567127227783203 × 131072)
    floor (74334.5)     		tx = 74334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407794952392578 × 217)
    floor (0.407794952392578 × 131072)
    floor (53450.5)     		ty = 53450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74334 / 53450 ti = "17/74334/53450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74334/53450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74334 ÷ 217
    74334 ÷ 131072     		x = 0.567123413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53450 ÷ 217
    53450 ÷ 131072     		y = 0.407791137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567123413085938 × 2 - 1) × π
    0.134246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42174884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407791137695312 × 2 - 1) × π
    0.184417724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.579365368807999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42174884} λ = 0.42174884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579365368807999))-π/2
    2×atan(1.78490531464525)-π/2
    2×1.06011480995882-π/2
    2.12022961991765-1.57079632675     		φ = 0.54943329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42174884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.164429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54943329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.480209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74334 KachelY 53450 0.42174884 0.54943329 24.164429 31.480209
    Oben rechts KachelX + 1 74335 KachelY 53450 0.42179678 0.54943329 24.167175 31.480209
    Unten links KachelX 74334 KachelY + 1 53451 0.42174884 0.54939241 24.164429 31.477866
    Unten rechts KachelX + 1 74335 KachelY + 1 53451 0.42179678 0.54939241 24.167175 31.477866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54943329-0.54939241) × R
    4.08799999999099e-05 × 6371000     		dl = 260.446479999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54943329-0.54939241) × R
    4.08799999999099e-05 × 6371000     		dr = 260.446479999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42174884-0.42179678) × cos(0.54943329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.852820597224678 × 6371000     		do = 260.473361994418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42174884-0.42179678) × cos(0.54939241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.85284194421203 × 6371000     		du = 260.479881913827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54943329)-sin(0.54939241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852820597224678-0.85284194421203)×R²
    abs(0.42179678-0.42174884)×2.13469873516781e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13469873516781e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13469873516781e-05×40589641000000     		ar = 67840.2193195149m²