Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74333 / 56413
↖ ↑ ↗
← N 24.294537°
E 24.161682°		 ← 278.32 m → N 24.294537°
E 24.164429°		 →
↑
278.35 m
↓
↑
278.35 m
↓
N 24.292034°
E 24.161682°		 ← 278.33 m →
77 471 m²		 N 24.292034°
E 24.164429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567119598388672 y=0.430400848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567119598388672 × 217)
    floor (0.567119598388672 × 131072)
    floor (74333.5)     		tx = 74333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430400848388672 × 217)
    floor (0.430400848388672 × 131072)
    floor (56413.5)     		ty = 56413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74333 / 56413 ti = "17/74333/56413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74333/56413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74333 ÷ 217
    74333 ÷ 131072     		x = 0.567115783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56413 ÷ 217
    56413 ÷ 131072     		y = 0.430397033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567115783691406 × 2 - 1) × π
    0.134231567382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42170091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430397033691406 × 2 - 1) × π
    0.139205932617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.437328335233772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42170091} λ = 0.42170091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437328335233772))-π/2
    2×atan(1.54856444186276)-π/2
    2×0.997407995083068-π/2
    1.99481599016614-1.57079632675     		φ = 0.42401966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42170091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.161682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42401966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.294537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74333 KachelY 56413 0.42170091 0.42401966 24.161682 24.294537
    Oben rechts KachelX + 1 74334 KachelY 56413 0.42174884 0.42401966 24.164429 24.294537
    Unten links KachelX 74333 KachelY + 1 56414 0.42170091 0.42397597 24.161682 24.292034
    Unten rechts KachelX + 1 74334 KachelY + 1 56414 0.42174884 0.42397597 24.164429 24.292034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42401966-0.42397597) × R
    4.36900000000406e-05 × 6371000     		dl = 278.348990000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42401966-0.42397597) × R
    4.36900000000406e-05 × 6371000     		dr = 278.348990000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42170091-0.42174884) × cos(0.42401966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.911442509660087 × 6371000     		do = 278.319934978269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42170091-0.42174884) × cos(0.42397597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.911460484055747 × 6371000     		du = 278.325423676216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42401966)-sin(0.42397597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911442509660087-0.911460484055747)×R²
    abs(0.42174884-0.42170091)×1.79743956606471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79743956606471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79743956606471e-05×40589641000000     		ar = 77470.8366971928m²