Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74333 / 53031
↖ ↑ ↗
← N 32.456474°
E 24.161682°		 ← 257.66 m → N 32.456474°
E 24.164429°		 →
↑
257.71 m
↓
↑
257.71 m
↓
N 32.454156°
E 24.161682°		 ← 257.67 m →
66 403 m²		 N 32.454156°
E 24.164429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567119598388672 y=0.404598236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567119598388672 × 217)
    floor (0.567119598388672 × 131072)
    floor (74333.5)     		tx = 74333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404598236083984 × 217)
    floor (0.404598236083984 × 131072)
    floor (53031.5)     		ty = 53031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74333 / 53031 ti = "17/74333/53031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74333/53031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74333 ÷ 217
    74333 ÷ 131072     		x = 0.567115783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53031 ÷ 217
    53031 ÷ 131072     		y = 0.404594421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567115783691406 × 2 - 1) × π
    0.134231567382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42170091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404594421386719 × 2 - 1) × π
    0.190811157226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.599450929748802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42170091} λ = 0.42170091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.599450929748802))-π/2
    2×atan(1.8211186037773)-π/2
    2×1.06863432676264-π/2
    2.13726865352528-1.57079632675     		φ = 0.56647233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42170091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.161682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56647233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.456474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74333 KachelY 53031 0.42170091 0.56647233 24.161682 32.456474
    Oben rechts KachelX + 1 74334 KachelY 53031 0.42174884 0.56647233 24.164429 32.456474
    Unten links KachelX 74333 KachelY + 1 53032 0.42170091 0.56643188 24.161682 32.454156
    Unten rechts KachelX + 1 74334 KachelY + 1 53032 0.42174884 0.56643188 24.164429 32.454156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56647233-0.56643188) × R
    4.04499999999697e-05 × 6371000     		dl = 257.706949999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56647233-0.56643188) × R
    4.04499999999697e-05 × 6371000     		dr = 257.706949999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42170091-0.42174884) × cos(0.56647233) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.843799376509095 × 6371000     		do = 257.664290523709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42170091-0.42174884) × cos(0.56643188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.843821083665147 × 6371000     		du = 257.670919064947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56647233)-sin(0.56643188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843799376509095-0.843821083665147)×R²
    abs(0.42174884-0.42170091)×2.17071560523197e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.17071560523197e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.17071560523197e-05×40589641000000     		ar = 66402.7325543467m²