Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74332 / 60842
↖ ↑ ↗
← N 12.785018°
E 24.158936°		 ← 297.85 m → N 12.785018°
E 24.161682°		 →
↑
297.84 m
↓
↑
297.84 m
↓
N 12.782339°
E 24.158936°		 ← 297.86 m →
88 714 m²		 N 12.782339°
E 24.161682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567111968994141 y=0.464191436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567111968994141 × 217)
    floor (0.567111968994141 × 131072)
    floor (74332.5)     		tx = 74332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464191436767578 × 217)
    floor (0.464191436767578 × 131072)
    floor (60842.5)     		ty = 60842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74332 / 60842 ti = "17/74332/60842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74332/60842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74332 ÷ 217
    74332 ÷ 131072     		x = 0.567108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60842 ÷ 217
    60842 ÷ 131072     		y = 0.464187622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567108154296875 × 2 - 1) × π
    0.13421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42165297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464187622070312 × 2 - 1) × π
    0.071624755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.225015806816544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42165297} λ = 0.42165297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225015806816544))-π/2
    2×atan(1.25234251158374)-π/2
    2×0.896968491782051-π/2
    1.7939369835641-1.57079632675     		φ = 0.22314066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42165297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.158936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22314066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.785018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74332 KachelY 60842 0.42165297 0.22314066 24.158936 12.785018
    Oben rechts KachelX + 1 74333 KachelY 60842 0.42170091 0.22314066 24.161682 12.785018
    Unten links KachelX 74332 KachelY + 1 60843 0.42165297 0.22309391 24.158936 12.782339
    Unten rechts KachelX + 1 74333 KachelY + 1 60843 0.42170091 0.22309391 24.161682 12.782339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22314066-0.22309391) × R
    4.67499999999843e-05 × 6371000     		dl = 297.8442499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22314066-0.22309391) × R
    4.67499999999843e-05 × 6371000     		dr = 297.8442499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42165297-0.42170091) × cos(0.22314066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975207252411372 × 6371000     		do = 297.853396720915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42165297-0.42170091) × cos(0.22309391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975217596816984 × 6371000     		du = 297.856556168654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22314066)-sin(0.22309391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975207252411372-0.975217596816984)×R²
    abs(0.42170091-0.42165297)×1.03444056127611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03444056127611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03444056127611e-05×40589641000000     		ar = 88714.3920841017m²