Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74332 / 60620
↖ ↑ ↗
← N 13.378932°
E 24.158936°		 ← 297.14 m → N 13.378932°
E 24.161682°		 →
↑
297.14 m
↓
↑
297.14 m
↓
N 13.376260°
E 24.158936°		 ← 297.14 m →
88 293 m²		 N 13.376260°
E 24.161682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567111968994141 y=0.462497711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567111968994141 × 217)
    floor (0.567111968994141 × 131072)
    floor (74332.5)     		tx = 74332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462497711181641 × 217)
    floor (0.462497711181641 × 131072)
    floor (60620.5)     		ty = 60620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74332 / 60620 ti = "17/74332/60620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74332/60620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74332 ÷ 217
    74332 ÷ 131072     		x = 0.567108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60620 ÷ 217
    60620 ÷ 131072     		y = 0.462493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567108154296875 × 2 - 1) × π
    0.13421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42165297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462493896484375 × 2 - 1) × π
    0.07501220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.235657798532196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42165297} λ = 0.42165297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.235657798532196))-π/2
    2×atan(1.26574109758666)-π/2
    2×0.90215136731364-π/2
    1.80430273462728-1.57079632675     		φ = 0.23350641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42165297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.158936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23350641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.378932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74332 KachelY 60620 0.42165297 0.23350641 24.158936 13.378932
    Oben rechts KachelX + 1 74333 KachelY 60620 0.42170091 0.23350641 24.161682 13.378932
    Unten links KachelX 74332 KachelY + 1 60621 0.42165297 0.23345977 24.158936 13.376260
    Unten rechts KachelX + 1 74333 KachelY + 1 60621 0.42170091 0.23345977 24.161682 13.376260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23350641-0.23345977) × R
    4.66399999999867e-05 × 6371000     		dl = 297.143439999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23350641-0.23345977) × R
    4.66399999999867e-05 × 6371000     		dr = 297.143439999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42165297-0.42170091) × cos(0.23350641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972861028410386 × 6371000     		do = 297.136799519208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42165297-0.42170091) × cos(0.23345977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972871819390653 × 6371000     		du = 297.140095362342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23350641)-sin(0.23345977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972861028410386-0.972871819390653)×R²
    abs(0.42170091-0.42165297)×1.0790980267128e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0790980267128e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0790980267128e-05×40589641000000     		ar = 88292.7404447843m²